Matematické Fórum

ali10 · 11. 05. 2010 06:16

Dobrý den, nevím si rady s těmito příklady:
1/ Napište parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem A (3;-1) a je rovnoběžná :
a/ s osou x /tady mi vyšlo x=3+t, y=-1/
b/ s osou y ?
c/ s osou I. a III. kvadrantu ?

2/ Napište obecnou rovnici, parametrické vyjádření a směrnicový tvar osy úsečky AB, jestliže A (5;4) , B(-1;8)

Děkuji a jestli můžu poprosit trošku podrobněji.

Ivana · 11. 05. 2010 07:21

↑ ali10:

2.

zdenek1 · 11. 05. 2010 07:54

↑ ali10:
1 b) směrový vektor je (0;1)
1 c) směrový vektor je (1;1)

Doxxik · 11. 05. 2010 08:38

↑ ali10:
s 1a nesouhlasím (ale možná je chyba na mém přijímači :) - když si nakreslíš obrázek, tak ti z toho vyjde rovnoběžka s x (což je v zadání) protínající osu y v bodě [0;-1].
Jaké fce mají za graf přímku rovnoběžnou s x?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jak je zapíšeme?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Z toho je vidět, že na x "nezáleží"..

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

proto bych to viděl na parametrické vyjádření:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

snad :)

zdenek1 · 11. 05. 2010 09:37

↑ Doxxik:
1a) Bohužel.
Ali to má dobře. Musíš určit to tvoje c.

Doxxik · 11. 05. 2010 09:59

aj, to jsem nějak zapomněl dopsat - samozřejmě $c = -1$ (neboť značí posun po y) - mě hlavně zarazilo to x = 3 + t (ta trojka mi tam přijde zbytečná)

Cheop · 11. 05. 2010 10:19

↑ ali10:
2)
Obecný tvar
$3x-2y+6=0$ - modrá
Parametricky
$x=2-2t\nly=6-3t$ - zelená
Směrnicový tvar
$y=\frac{3x}{2}+3$ - fialová
Střed úsečky AB
$S(2;\,6)$
Rovnice přímky AB
$2x+3y-22=0$ - červená
Obrázek

Ivana · 11. 05. 2010 11:07 — Editoval Ivana (11. 05. 2010 11:16)

↑ Cheop: Zdravím :-) , jak to, že mám jiný výsledek? Kde mám chybu? Děkuji za odpovědˇ.

Už vidím chybu, pokud dám .. $s=(-3;2)$ pak mi vyjde rovnice $2x+3y-22=0$

zdenek1 · 11. 05. 2010 11:17

↑ Doxxik:
Teď je to OK.

Parametrické vyjádření přímky není jednoznačné.

ali10 · 11. 05. 2010 11:38

Zdravím a děkuji všem za snahu. Bohužel mám z toho v hlavě zmatek. Až teď jsem našla výsledky, ale nevím, jak se k ním dopídit. Nejblíže výsledku u 2 příkladu byl cheop. Jen ta znaménka. Takže výsledky: 1/ a mám kupodivu dobře
b/ s osou y x=3, y=-1+t, t náleží R
c/ s osou I. a III. kvadrantu x=3+t, y=-1+t, t náleží R

2/ 3x-2y+6=0; x=2+2t, y=6+3t, t náleží R; y=3/2x+3

Omlouvám se, že uvádím výsledky až těď. Děkuji

Cheop · 11. 05. 2010 11:58 — Editoval Cheop (11. 05. 2010 14:22)

↑ ali10:
Nastíním sem tedy svoje řešení příkladu 2)
Máme body $A(5;\,4)$ a $B(-1;\,8)$ a máme napsat osu úsečky AB
a) - obecnou rovnicí
b) - směrnicovým tvarem
c) - parametricky.

Osa úsečky prochází středem úsečky AB a je kolmá k přímce AB
Určíme střed úsečky AB
$S_{\tiny AB}=\left(\frac{5-1}{2};\,\frac{4+8}{2}\right)=(2;\,6)$
$S_{\tiny AB}\,(2;\,6)$
a)
Směrový vektor přímky AB je:
$(5-(-1);\,4-8)=(6;\,-4)=(3;\,-2)$ tento vektor je normálovým vektorem hledané přímky
Obecná rovnice osy AB bude mít tvar:
$3x-2y+c=0$ a bude procházet středem úsečky AB. Do této rovnice dosadíme souřadnice S_AB a dopočítáme c tedy:
$3\cdot 2-2\cdot 6+c=0\nlc=6$
Obecný tvar osy je:
$3x-2y+6=0$
b)
Směrnicový tvar přímky je obecně: $y=kx+q$ stačí nám tedy z obecné rovnice osy osamostatnit y
$3x-2y+6=0\nl2y=3x+6\nly=\frac{3x}{2}+3$
c)
Směrový vektor osy AB je $u=(2;\,3)$ ale také $u=(-2;\,-3)$ a přímka prochází bodem $S_{\tiny AB}\,(2;\,6)$
Obecně:
Máme-li směrový vektor u(u_1; u_2) a bod A(a_1; a_2) pak parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem A je:
$x=a_1+tu_1\nly=a_2+tu_2$
Pro náš případ máme:
$a_1=2\nlu_1=2\nla_2=6\nlu_2=3$
Osa úsečky vyjádřená parametricky bude:
$x=2+2t\nly=6+3t$
ale dá se zapsat i:
$x=2-2t\nly=6-3t$
Rekapitulace:

a) $3x-2y+6=0$
b) $y=\frac{3x}{2}+3$
c) $x=2+2t\nly=6+3t$ nebo: $x=2-2t\nly=6-3t$

ali10 · 11. 05. 2010 13:37

↑ Cheop:
Krásně podrobně vysvětleno. Děkuji moc

gadgetka · 11. 05. 2010 14:59

A tady máš přehledně 1) :)
a) rovnoběžná s osou x $\Rightarrow \vec{s_p}=(1,0)$

$p: x=x_A+t\nly=y_A\nlA\in p\Rightarrow\nl x=3+t\nly=-1\nlt\in R$

b) rovnoběžná s osou y $\Rightarrow \vec{s_p}=(0,1)$

$p: x=x_A\nly=y_A+t\nlA\in p\Rightarrow\nlx=3\nly=-1+t\nlt\in R$

c) rovnoběžná s osou I. a III. kvadrantu $\Rightarrow \vec {s_p}=(1;1)$

$p: x=x_A+t\nly=y_A+t\nlA\in p \Rightarrow\nlx=3+t\nly=-1+t\nlt\in R$