Matematické Fórum

kayn · 11. 05. 2010 22:47

Ahojky,

mohl by mi někdo dát alepoň hint k tomu, jak se přijde na to, že kořeny polynomu jsou omezeny nějakým mezikružím nebo alespoň omezené nějakou kružnicí? Řešení níže v linku, ale proč tomu tak je?

LINK

Díky moc

Marian · 12. 05. 2010 10:39

↑ kayn:

Stačí k tomu jednoduchý odhad pomocí geometrické řady se snadnou diskusí. Snad to někomu pomůže (třeba i tobě) a odhad sem napíše. Bohužel dneska nebudu mít více času.

check_drummer · 12. 05. 2010 20:09

Kořeny polynomu jsou omezeny kružnicí, protože jich je konečně mnoho. :-)
Ty se ale ptáš na odhad konkrétních vzorců, že?

kayn · 13. 05. 2010 13:01

↑ check_drummer: Přesně tak, ono přesně se ty kořeny nacházejí v mezikruží.

Marian · 14. 05. 2010 19:10 — Editoval Marian (15. 05. 2010 13:17)

Dokážu alespoň tvrzení 1 z uvedeného linku. Není to těžké ...

Předpokládejme, že je dán polynom $p(x)\in\mathbb{C}[x]$ ve tvaru $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$ , kde $a_n\neq 0$ , tj. pracuju zde s libovolným polynomem stupně n s komplexními koeficienty. Předpokládejme, že stupeň polynomu $p(x)$ bude alespoň 1. Pak existuje podle základní věty algebry právě n kořenů tohoto polynomu včetně jejich násobností. Označme libovolný takový kořen $\xi$ . Tedy je $p(\xi )=0$ .

Nyní se důkaz bude dělit na několik částí.

1. Bude-li kořen $\xi$ splňovat podmínku $|\xi |=1$ , je zároveň jasné, že není třeba hledat meze, v jakém mezikruží v komplexní rovině se nachází. Leží totiž na jednotkové kružnici se stčedem v počátku komplexní roviny.

2. Pokud by existoval kořen $\xi$ takový, že pro něj platí $|\xi |<1$ , potom máme

Z předpokladu plyne, že číslo $1-|\xi|$ je kladné. Pokud roznásobíme poslední nerovnost tímto číslem a seskupíme $|\xi|$ , dostaneme odtud nerovnost

$|\xi|\ge\frac{|a_0|}{|a_0|+\left (\max_{1\le j\le n}\quad |a_j|\right )}.$

Všimněme si, že číslo na pravé straně poslední nerovnosti je ostře menší než 1.

3. Pokud by platilo $|\xi |>1$ , potom jistě triviálně podle poslední poznámky platí

$|\xi|\ge\frac{|a_0|}{|a_0|+\left (\max_{1\le j\le n}\quad |a_j|\right )}.$

4. Zřejmě každý kořen $\xi$ polynomu $p(x)$ musí vyhovovat jedné z možností 1-3. Tedy musí konečně platit nerovnost

$|\xi|\ge\frac{|a_0|}{|a_0|+\left (\max_{1\le j\le n}\quad |a_j|\right )}.$

pro libovolný kořen $\xi$ .

5. Přistoupíme nyní k hornímu odhadu. Budu již předpokládat, že kořen $\xi$ vyhovuje vlastnosti $|\xi|>1$ . V ostatních případech se analogicky jako v předchozím dokáže, že tatáž nerovnost platí triviálně. Zřejmě máme

Odtud jednoduchou úpravou dostáváme odhad

$|\xi |<1+\frac{\left (\max_{0\le j\le n-1}\quad |a_j|\right )}{|a_n|}.$

6. Sloučením případů 1-5 tedy musí platit pro libovolný kořen $\xi$ polynomu $p(x)$ odhad

$\boxed{\frac{|a_0|}{|a_0|+\left (\max_{1\le j\le n}\quad |a_j|\right )}\quad\le\quad |\xi|\quad <\quad 1+\frac{\left (\max_{0\le j\le n-1}\quad |a_j|\right )}{|a_n|}.}$

Důkaz už jsem si dlouho neosvěžoval. Musel jsem si jeho jednoduchost opět procvičit. Pokud je tam je chyba (doufám, že ne zásadní), tak mě kolegové a kolegyně, prosím, opravte.