Matematické Fórum

mandarininka · 11. 05. 2010 20:35

Dobry den, mam nekolik prikladu se kterymi si nevim rady a potrebovala bych poradit:)

1)Jsou-li realna cisla p>0,q>0 potom plati

(p+q).(1/p + 1/q)>4

2) Trojciferne cislo M je delitelne 18 a lze zapsat jako soucet cisla dvojciferneho a jeho padesatinasobku. Urci vsechna cisla M teto vlastnosti.

3) Dokaz, ze kazde racionalni cislo vyjadrene ve tvaru zlomku lze zapsat pomoci konecneho nebo nekonecneho periodickeho desetinneho rozvoje.

Moc dekuji za kazdou radu

zdenek1 · 11. 05. 2010 20:48

↑ mandarininka:
1. za daných podmínek a $p\neq q$
$(p+q)\left(\frac1p+\frac1q\right)=\frac{(p+q)^2}{pq}=\frac{p^2+2pq+q^2}{pq}=\frac{p^2-2pq+q^2+4pq}{pq}=4+\frac{(p-q)^2}{pq}>4$

Chrpa · 11. 05. 2010 20:58

↑ mandarininka:
Př.2)
Vychází mi jen čísla 612 a 918
$51\cdot 12=612\nl51\cdot 18=918$

Doxxik · 11. 05. 2010 21:10

↑ zdenek1: krásné řešení - jen mi vrtá hlavou, proč: $p\neq q$ ? Nikde to neplechu nedělá (nebo ji alespoň nevidím..).

Chrpa · 11. 05. 2010 21:12 — Editoval Chrpa (11. 05. 2010 21:13)

↑ Doxxik:
Dělá protože by vyšlo: $4+0\,>\,4$

Doxxik · 11. 05. 2010 21:13

aha, ona je tam ostrá nerovnost.. to jsem jaksi přehlédl.. díky :)

mandarininka · 11. 05. 2010 21:14

muzu se zeptat na reseni priklady cislo 2? jak se na to prislo?

BakyX · 11. 05. 2010 22:03 — Editoval BakyX (11. 05. 2010 22:04)

2. Číslo môžeme zapísať ako dvojciferné číslo + jeho päťdesiatnásobok. Tj.

M=51x

Číslo M je teda deliteľné 51 a zároveň 18. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 306. Tj. jedno číslo je 306. Ďalšie je 306*2=612. Ďalšie číslo je 306*3=918. Ďalšie čísla už nie sú trojciferné.

3. Nechápem ako to dokázať. Veď je to jasné.

Chrpa · 11. 05. 2010 22:11 — Editoval Chrpa (11. 05. 2010 22:12)

↑ BakyX:
Nechci být velký šťoura, ale číslo 306 nesplňuje podmínku, že je to součet
dvojciferného čísla a jeho padesátinásobku.
Resp. 6 + 300 = 306 (6 není dvojciferné číslo)

BakyX · 11. 05. 2010 22:28

Aha. Dvojciferneho. Diky za pripomienku.

FailED · 12. 05. 2010 11:10 — Editoval FailED (12. 05. 2010 11:32)

↑ mandarininka:
3) Odkud je ten příklad? Nic jednoduššího mě nenapadá:

Dokážeme, že číslo $\frac{1}{n}$ je ryze periodické pro $n\in\mathbb{N}, \qquad n>1, \qquad (n, 10)=1$ :

Protože každé ryze periodické číslo lze zapsat ve tvaru* $\frac{P}{10^d-1}$ kde P je perioda a d je délka periody a každé číslo tohoto tvaru je ryze periodické, stačí dokázat, že zlomek $\frac{1}{n}$ lze rozšířit tak, aby ve jmenovateli bylo číslo $10^m-1$ kde m je nějaké přirozené číslo.

K tomu nám poslouží Eulerova věta, která říká $a^{\varphi (b)} \equiv 1\quad \pmod {b}$ pro $a, b \in \mathbb{N}, \quad (a,b)=1$ Jinými slovy, pro naši potřebu, existuje nějaké číslo $\varphi (n)$ takové, že $n | \quad 10^{\varphi (n)}-1$ a tedy zlomek lze rozšířit tak, aby bylo ve jmenovateli číslo $10^{\varphi (n)}-1$ . $\frac{1}{n}$ je tedy ryze periodické.
$\varphi\small{ ()}$ je Eulerova funkce, která je definovaná pro všechna přirozená čísla.

Zbytek zvládneš?

*Důkaz jednoduše pomocí součtu členů nekonečné geom. posloupnosti.