Matematické Fórum

1. V rovine je daných 2000 zhodných trojuholníkov s obsahom 1, ktoré sú obrazmi toho istého trojuholníka v rôznych posunutiach. Každý z týchto trojuholníkov obsahuje ťažiská všetkých ostávajúcich. Dokážte, že obsah zjednotenia týchto trojuholníkov je menší ako 22/9.

2. Pre ktoré kvadratické funkcie f(x) existuje taká kvadratická funkcia g(x), že korene rovnice g(f(x)) = 0 sú štyri rôzne po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti a súčasne sú aj koreňmi rovnice f(x) g(x) = 0 ?

3. Daný je rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AB. Na jeho výške CD je zvolený bod P tak, že kružnice vpísané trojuholníku ABP a štvoruholníku PECF sú zhodné; pritom bod E je priesečník priamky AP so stranou BC a F priesečník priamky BP so stranou AC. Dokážte, že aj kružnice vpísané trojuholníkom ADP a BCP sú zhodné.

4. Nech n je prirodzené číslo. Dokážte, že súčet je deliteľný trinástimi práve vtedy, keď n je párne.

5. Určte najmenšie prirodzené číslo k, pre ktoré platí: Ak vyberieme ľubovoľných k rôznych čísel z množiny {1, 2,, 3, ..., 2000}, tak medzi vybranými číslami existujú dve, ktorých súčet alebo rozdiel je 667.

Tieto úlohy ma dostali :) Aj keď niesú najťažšie