Matematické Fórum

Veronique · 13. 05. 2010 15:46

Prosila bych o pomoc..buď vyřešit, nebo alespoň nástínit, jak by se dala dokázat věta o dělitelnosti 11. Předem děkuji

Tqtuan · 13. 05. 2010 16:33 — Editoval Tqtuan (13. 05. 2010 17:11)

↑ Veronique:

Ahoj. Veta o delitelnosti 11 nam rika, ze cislo je delitelne cislem 11 prave, kdyz rozdil souctu lichych a sudych cisel je roven cislu delitelne 11.

v prvni rade je dulezite si uvedomit ze, cisla $10^{2k}-1$ je vzdy delitelne 11, jde o cisla 99,9999,999999, atd... a taky je nutne si uvedomit, ze cisla $10^{2{k-1}}+1$ je take vzdy delitelne 11 nebot jde o cisla 11,1001,100001,atd...

Potom si musis uvedomi, ze kazde (k)-ciferne cislo lze napsat ve tvaru $a_{k-1}10^{k-1}+a_{k-2}10^{k-2}+ ....+a_110^1+a_0$ .

Takoveto cislo muzeme rozdelit na 2 casti , 1. cast cleny, kde se nachazeji sude mocniny a cleny kde se nachazeji liche mocniny a dostavame >

a.) Pro liche mocniny: nebo-li pro takove (k-1) ktere jsou liche

$a_{k-1}(10^{k-1}+1)-a_{k-1}+...........+a_1(10^1+1)-a_1$

b.) Pro sude mocniny:nebo-li pro takove (k-1) ktere jsou sude

$a_{k-1}(10^{k-1}-1)+a_{k-1}+...........+a_2(10^2-1)+a_2-a_0$

(k-1) ciferne cislo je tedy souctem a.) a b.) a jiz zde vidime toto (k)ciferne cislo bude delitelne, prave kdyz rozdil souctu lichych a sudych clenu je roven cislo delitelne 11.

Pro jedoduchost predvedeme na priklade>

cislo 73205 lze napsat jako $7.10^4+3.10^3+2.10^2+0.10^1+5$ to ovsem podle vyse uvedenho muzeme napsat jako

a.) $3(10^3+1)-3+0(10^1+1)-0$

b.) $7(10^4-1)+7 + 2(10^2-1)+2 + 5$

dohromady teda mame $3(10^3+1)-3+0(10^1+1)-0+7(10^4-1)+7 + 2(10^2-1)+2 + 5= 3(10^3+1)+0(10^1+1)+7(10^4-1)+2(10^2-1)+11$ a tedy 11 je delitelne 11 a cisla se zavorkami jsou vzdy delitelne 11.

Mam pcoit, ze tenhle dukaz jsem uz dokazoval pri jednu slecnu z Gymnazia na vitezne plani, kteri to maji jako maturitni otazku ^_^

jarrro · 13. 05. 2010 17:20 — Editoval jarrro (13. 05. 2010 17:21)

najprv.treba dokázať,že $\forall n\in\mathbb{N_0};\exists k\in \mathbb{N_0};\forall z \in\mathbb{N}-\left{1\right};\left(z-1\right)^n=z\cdot k+\left(-1\right)^n$
dôkaz:pre n=0 je k=0 pre n=1 je to je k=1 pre n=2 je k=z-2
nech to plati pre nejake n>2 potom $\left(z-1\left)^{n+1}=\left(z-1\right)^{n}\left(z-1\right)=\left(z\cdot k+\left(-1\right)^n\nlright)\left(z-1\right)=z^2\cdot k-z\cdot k+\left(-1\right)^n z+\left(-1\right)^{n+1}$ čo dokazuje naše tvrdenie
teraz môžeme dokázať,že číslo $a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots +a_n z^n$ kde z $a_i=\in\left{0,1,\cdots ,z-1\right}$ je deliteľné číslom z+1 vtedy a len vtedy keď rozdiel súčtu párnych a súčtu nepárnych číslic je deliteľný z+1 $a_0+a_1\left(z+1-1\right)+a_2\left(z+1-1\right)^2+\cdots +a_n \left(z+1-1\right)^n=\nla_0+a_1\left(\left(z+1\right)k_1+\left(-1\right)^{1}\right)+a_2\left(\left(z+1\right)k_2+\left(-1\right)^{2}\right)+\cdots + a_n\left(\left(z+1\right)k_n+\left(-1\right)^{n}\right)=\nl\left(z+1\right)k+a_0-a_1+a_2-\cdots +\left(-1\right)^n a_n$ teda deliteľnosť číslo z+1 závisí na príslušnom rozdieli
prípad z=10 a deliteľnosť jedenásť je hjednoduchý dôsledok práve dokázanej vety

Tqtuan · 13. 05. 2010 17:31

↑ jarrro:

elegantni dukaz, ale jsem zvedavy jak to studenti z Gymnazia pochopi :)

jarrro · 13. 05. 2010 17:33

↑ Tqtuan:hádam to nie je také nezrozumiteľné či hej?na gymnáziu by mali vedieť,že existujú aj iné sústavy nie?

Tqtuan · 13. 05. 2010 17:41

↑ jarrro:

Jako ten dukaz se mi velice paci, jen ze je pro studenty asi trosku slozitejsi i proto, ze to je rovnou pro obecny pripad delitelnost (k+1) a jsou tam nektere myslenkove prechody ketere hnedtak nejsou tak jasne vsem, ale na druhou stranu aspon takhle muzou studenti behem maturity oslnit zkousejici :)

Veronique · 13. 05. 2010 17:50

Tak děkuji za zodpovězení...myslím, že u maturity mi bude stačit projít. Oslňovat můžu jindy:-))

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2010 15:46

Důkaz dělitelnosti 11

#2 13. 05. 2010 16:33 — Editoval Tqtuan (13. 05. 2010 17:11)

Re: Důkaz dělitelnosti 11

#3 13. 05. 2010 17:20 — Editoval jarrro (13. 05. 2010 17:21)

Re: Důkaz dělitelnosti 11

#4 13. 05. 2010 17:31

Re: Důkaz dělitelnosti 11

#5 13. 05. 2010 17:33

Re: Důkaz dělitelnosti 11

#6 13. 05. 2010 17:41

Re: Důkaz dělitelnosti 11

#7 13. 05. 2010 17:50

Re: Důkaz dělitelnosti 11

Zápatí