Matematické Fórum

archipatelin · 13. 05. 2010 20:24

Vzpomel jsem si na poznamku uvedenou pod carou v jedne knize o kvantove teorii pole (uz presne nevim ve ktere)
kde se pise ze neexistuji ortogonalni matice dimenze 6 a vise, ktere by byly zaroven antisymetricke ( $MM^{\dag}=1,\;M^{\dag}=-M$ ).
Nejak se mi to nezdalo, tak jsem to chtel dokazat resp. vyvratit najakym protiprikladem.

Pomoci programu jako MAXIMA nebo DERIVE se mi nepodarilo nic spocitat (zkousel jsem dim. 6 a 8; pro dim. 10 jiz nestaci pamet)
Dimenze 2 a 4 jsou temito programy spocitany hladce.

Nevite nekdo jestli to je pravda?
Pokud ano, zna nekdo dukaz ci odkaz na nej?

PS. Vzhledem k tomu v jake knize se tato poznamka nachazela, nemohlo by to mit nejakou souvislost s ortogonalnimi a unitarimi grupami pro ktere plati isomorfismy:
$SO(2)=U(1),\; SO(3)=SU(2),\; SO(4)=SU(2)\otimes SU(2)$ a $SO(6)=SU(4).$ ?

lukaszh · 13. 05. 2010 21:42

↑ archipatelin:

No, možno to nebude triviálne. Uvediem len pár postrehov, ktoré by mohli byť užitočné.

Keďže A je unitárna, potom jej vlastné čísla ležia na jednotkovej kružnici. A je zároveň antisymetrická, preto sú jej vlastné čísla rýdzo imaginárne, po dvojiciach komplexne združené. Preto prichádzajú v úvahu len +i, a -i. Ak je rozmer matice nepárne číslo, potom pre antisymetrickú maticu neexistuje celé spektrum po dvojiciach, preto osamotené vlastné číslo je 0. To ale nemá normu 1, preto prichádzajú v úvahu len matice s párnym rozmerom.

Uvedená tretia rovnica by mohla predstavovať minimálny polynóm
$m_A(\lambda)=\lambda^2+1$

Zatiaľ ma nič ďalšie nenapadá.

archipatelin

↑ lukaszh:
Diky.

To ze dimenze musi byt suda se da dokazat i takto
$\det(A)=\det(A^{\dag})=\det(-A)=(-1)^{\dim(A)}\det(A)$

Taky na to jdu prez vlastni cisla. :-)

Jeden postreh:
Matice jsou normalni ( $[A,A^{\dag}]=0$ ) vlastne dokonce ortogonalni tak maji ruzne vlastni vektory
a proto jsou podobne maticim diagonalnim (s vlastnimy cisly na diagonalach).

archipatelin · 15. 05. 2010 19:55

Tak to neni pravda!
(asi si tu poznamku pod carou pamtuji trochu jinak)

Ortogonalni antisymetricke matice existuji pro kazdou sudou dimenzi.

Mejme diagonalni blokovou matici:
, kde

Ta jiz splnuje $M^{\dag}=-M,\;MM^{\dag}=1$
X

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2010 20:24

Maximalni dimenze antisymetricke ortogonalni matice

#2 13. 05. 2010 21:42

Re: Maximalni dimenze antisymetricke ortogonalni matice

#3 13. 05. 2010 22:08 — Editoval archipatelin (13. 05. 2010 22:11)

Re: Maximalni dimenze antisymetricke ortogonalni matice

#4 15. 05. 2010 19:55

Re: Maximalni dimenze antisymetricke ortogonalni matice

Zápatí