Matematické Fórum

archipatelin · 16. 05. 2010 14:01

Jak se pocita pravdepodobnost jevu s nekonecnou cetnosti?

Napr. Jaka je pravdepodobnost, ze nahodne vybrane prirozene cislo je prvocislo?

Klasicky bych pocital jako limitni prechod podilu priznivych jevu ku vsem vyskytum tj.
$p=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(n)}{n}\sim\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\log(n)}=0$

Pravdepodobnost vyberu prvocisla je nulova, tedy prvocisla neexistuji!
Coz je SPOR hranicici az s drzosti. :-)

Obecne: "klasicka" pravdepodobnost vyberu konkretniho cisla $n$ je $0$ a toto musi plati pro veskere $n$ a tak mnozina prirozenych cisel neexistuje.

Slysel jsem, ze pravdepodobnost ma dost spolecneho s teorii miry - bude v tomto reseni?

A nebo definovat pravdepodobnosti nekonecnych jevu je ze sve podstaty nesmyslne?

Stýv · 16. 05. 2010 14:29

Jaka je pravdepodobnost, ze nahodne vybrane prirozene cislo je prvocislo?

je třeba položit si otázku, co znamená to "náhodně vybrané". ono totiž rovnoměrné rozdělení na spočetné nekonečné množině je trochu problematická záležitost, nicméně ten tvůj postup s limitou je celkem rozumný

Pravdepodobnost vyberu prvocisla je nulova, tedy prvocisla neexistuji!

toto je špatný závěr. pst 0 ještě neznamená, že je jev nemožný (ač je to poněkud neintuitivní).

Slysel jsem, ze pravdepodobnost ma dost spolecneho s teorii miry - bude v tomto reseni?

ano, teorie psti je vlastně aplikací teorie míry

jarrro · 16. 05. 2010 14:37 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 14:37)

veľmi sa v tom nevyznám,ale neznamená nulová limita len to,že náhodne vybraté prirodzené číslo skoro isto nie je prvočíslo?

archipatelin

↑ Stýv:
Ze nulova pravdepodobnost neni nemozny jev? Vzdyt to jeden z axiomu pravdepodobnosti!

Mozna bude zakopany pes v limitnim prechodu nerovnosti. Protoze pro lib. velke n je $\frac{\pi(n)}{n} > 0$ 0 to je az po limite.

Stýv · 16. 05. 2010 15:02

Ze nulova pravdepodobnost neni nemozny jev? Vzdyt to jeden z axiomu pravdepodobnosti!

není. věř mi;)

archipatelin · 16. 05. 2010 15:05

Stýv napsal(a):
není. věř mi;)

Co takhle dukaz? :)

jarrro · 16. 05. 2010 15:09 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 15:10)

napr. hrajú dvaja maticovú hru 4x4 prvý hráč si bere prvý riadok s pravdepodobnosťou 0 druhý riadok s pravdepodobnosťou 1/3 rovnako ako tretí a štvrtý to ale nezanmená,že ten prvý riadok neeexistuje znamená to len že si ho hráč nevyberie

lukaszh

Presne tak. To je to isté, ako keď na intervale uvažujeme rovnomerné rozdelenie. S akou pravdepodobnosťou sa nadobudne konkrétny bod tohoto intervalu?
$\rm{P}[X=x]=\lim_{\delta\to0^+}\int_{x-\delta}^{x+\delta}f(x)\,\rm{d}x=\lim_{\delta\to0^+}F(x+\delta)-F(x-\delta)$
Pri rovnomernom rozdelení je uvedená limita 0, to ale neznamená, že vybrať konkrétne x je nemožné.

archipatelin · 16. 05. 2010 15:20

↑ jarrro:
A to je najaky divny. Nechci se poustet do filosofovani (moc to neumin), ale kdyby ti hraci hrali tuto tvoji hru treba do soudneho dne, tak si ani jeden znich nevybere prvni radak - pro ne vramci pravidel neexistuje. Jak by zjistil ze hraji na poly 4x4 a ne 4x3?

archipatelin

↑ lukaszh:
Takze pojem pravdepodobnosti v takovychto pripadech selhava?
Ohledne tveho prikladu me napadl podobny intuitivni:
Mame danou kruznici a ne ni 3 ruzne body. Jaka je pravdepodobnost ze dany trojuhelnik je pravouhly?
Pravdepodobnost je dle predchoziho 0. Ale pravouhle trojuhelnik jiste existuji.

Abych to schrnul: jev s nulovou pravdepodobnosti nemuze nastat, ale to nevylucuje, ze neexistuje. S timto bych mohl souhlasit.
Jenze, kdyz to aplikuji na pripad, ze mam onu mnozinu prirozenych cisel a pravdepodobnost vytazeni lib. cisla je nula tedy jev nenastava pro zadne cisla (ale ty cisla mohou existovat jak jsem pripustil vysse) pak se ptam co budy mit v ruce kdyz sahnu do nekonecne velkeho pytle se vsemi pr. cisly a neco si vytahnu?

jarrro · 16. 05. 2010 15:37 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 15:37)

on existuje len ho hráč ignoruje napríklad preto,lebo mu optimalizácia povedala,že jeho optimálna stratégia je $\left(0;\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$ alebo sa mu jednoducho nepáči

jarrro · 16. 05. 2010 15:40 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 15:41)

pak se ptam co budy mit v ruce kdyz sahnu do nekonecne velkeho pytle se vsemi pr. cisly a neco si vytahnu?

číslo ktoré nie je prvočíslo

lukaszh · 16. 05. 2010 16:06

↑ jarrro:

Ty už zachádzaš do teórie hier, čo je samostatná kapitola. To je už ale o niečom inom.

jarrro · 16. 05. 2010 16:12

↑ lukaszh:ale trochu to súvisí s pravdepodobnosťou nie? zložky toho vektora sú pravdepodobnosti z akými vyberá príslušný riadok

FliegenderZirkus · 16. 05. 2010 16:16

pak se ptam co budy mit v ruce kdyz sahnu do nekonecne velkeho pytle se vsemi pr. cisly a neco si vytahnu?

A existuje takový pytel? Pro každou konečnou velikost pytle (množství přirozených čísel) nám vyjde nenulová pravděpodobnost a v reálném životě se s jiným případem nesetkáme, vždy budeme omezeni nějakým nejvyšším číslem, ať už objemem pytle, nebo pamětí počítače, který bude losovat. Ten limitní přechod bych tedy chápal jako hypotetickou úvahu, alespoň pro tohle zadání, jinak bychom asi museli v zadání „Jaka je pravdepodobnost, ze nahodne vybrane prirozene cislo je prvocislo?” přesně definovat všechny pojmy. Dává to smysl? Vzdělání v tomhle směru nemám.

Stýv · 16. 05. 2010 16:31

archipatelin napsal(a):
Co takhle dukaz? :)

najdi si nějaká skripta z teori psti, a zjistíš, že tam žádný takový axiom není.

Takze pojem pravdepodobnosti v takovychto pripadech selhava?

neselhává. jenom si ho špatně vykládáš

Abych to schrnul: jev s nulovou pravdepodobnosti nemuze nastat, ale to nevylucuje, ze neexistuje.

znovu: jev s nulovou pstí může nastat

Stýv · 16. 05. 2010 16:34

↑ lukaszh:není řeba limity,
$\rm{P}[X=x]=\int_x^xf(t)\,\rm{d}t=F(x)-F(x)=0$

lukaszh · 16. 05. 2010 16:53

↑ jarrro:

Súvisí. S miešaním stratégií. Ale to je na voľbe hráča, ako si stratégiu namieša. Z teórie sú podstatní racionálni hráči, ale rôzne externé vplyvy môžu namiešať stratégiu inak. Ide už skôr len o filozofovanie ako o teóriu pravdepodobnosti.

archipatelin · 17. 05. 2010 18:48

Stýv napsal(a):
archipatelin napsal(a):
Co takhle dukaz? :)
najdi si nějaká skripta z teori psti, a zjistíš, že tam žádný takový axiom není.
Takze pojem pravdepodobnosti v takovychto pripadech selhava?
neselhává. jenom si ho špatně vykládáš
Abych to schrnul: jev s nulovou pravdepodobnosti nemuze nastat, ale to nevylucuje, ze neexistuje.
znovu: jev s nulovou pstí může nastat

Uz mi to snad je trochu jasnejsi.
Kolmogorova axiomatizace pravdepodobnosti skutecne pripousti existenci mozneho (= not nemozneho) jevu s nulovou pravdepodobnosti.

Oznacme nemozny jev jako $\emptyset$ . Pravdepodobnost takoveho jevu je jiste nulova: $P(\emptyset)=0$
Dale mejme dva nezavisle jevy $A\neq\emptyse, \,X\neq\emptyset;\;\; A\cap X=\emptyset$ .
Pro pravdepodobnost jevu $B:=A\cup X$ je axiomaticky zavedeno:
$P(B)=P(A\cup X)=P(A)+P(X)$
Protoze je jev $X\neq\emptyse$ a disjunktni s $A$ plati: $A\neq B$

Pravdepodobnost jevu $X$ piseme jako: $P(X)=P(B)-P(A)$

Pokud jsme schopni pripustit existenci dvou ruznych jevu se stejnou pravdepodobnosti, pak nezbyva nez take pripustit, ze existuje aspon jeden jev
$X\neq\emptyse$ s nulovou pravdepodobnosti $P(X)=0$

Me prvotni nepochopeni plynulo z toho, ze jsem mel na mysli, dalo by se ric intuitivne, neco jako pravdepodobnost statistickou (nikoliv obecnou definici). A ta se asi neda pouzit na nespocetny vzorek. Stejne tak jak nelze urcit statisticky pravdepodobnost jedinecneho jevu - trebe pravdepodobnost vzniku zivota na Zemi - ten tu vznikl je jednou!

Diky za reakci.