Matematické Fórum

zaja · 14. 05. 2010 20:51

Zdravím, potřebovala bych prosím pomoct s tímto příkladem. Vypočítala jsem vlastní vektory tvořící matici U, teď ale nevim, jak dostat tu správno matici U. Zkusila jsem vzít matici s vlastními čísly na diagonále a cedle ní dát U a počítat polární bázi, ale to mi nevychází, ani když tam dám normované vlastní vektory - viz papír. Díky za pomoc, už to řešim ani nevim jak dlouho.

Formol · 14. 05. 2010 22:48

Jestli ono nemáš trochu špatně zadání - nemáš to zapsat ve tvaru: $A = U^T\,B\,U$ ?

Pak bys měla postup skoro dobře - stačí spočítat vlastní čísla a vlastní vektory, U bude matice přechodu do normované báze vlastních vektorů a B bude diagonální matice s vlastními čísly na diagonále...

zaja · 15. 05. 2010 08:07

To zadaní je určitě dobře, ta matice B by se měla asi převést na jednotkovou a přitom asi změnit U, aby po součinu s U^T davala zase A, ale to asi dělám nějak špatně, nebo nevim

zaja · 16. 05. 2010 18:43

Nevedeli byste si nekdo prosim rady s timto prikladem? Diky :)

lukaszh

↑ zaja:

Najprv poznámka: Treba vedieť, že v takom tvare sa matica dá zapísať len vtedy, keď je symetrická. Ak by nebola symetrická tak sa o to ani nemusíme pokúšať.

K príkladu: Symetrická matica má ortogonálne vlastné vektory, preto možno nájsť bázu zloženú z vlastných vektorov tak, aby sme maticu A vedeli zapísať v tvare $A=QBQ^T$ , kde B je diagonálna matica
$B=\begin{bmatrix}\lambda_1&0\nl0&\lambda_2\end{bmatrix}$
Túto maticu upravíme na
$B=\sqrt{B}\sqrt{B}=\sqrt{B}\sqrt{B}^T=\begin{bmatrix}\sqrt{\lambda_1}&0\nl0&\sqrt{\lambda_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt{\lambda_1}&0\nl0&\sqrt{\lambda_2}\end{bmatrix}$
čo nám umožní zapísať pôvodnú maticu v tvare
$A=QBQ^T=Q\sqrt{B}\sqrt{B}^TQ^T=(Q\sqrt{B})(Q\sqrt{B})^T=UU^T$
čo je požadovaný tvar.

zaja · 16. 05. 2010 20:15

Děkuju moc, teď už mi to vyšlo.

zaja · 16. 05. 2010 21:47

Ted jsem se ale snažila vypočítat U^T * U, jak bylo v zadání; a když udělám (Q*B^1/2)^T * (Q*B^1/2) tak mi vychází matice B místo A a já nevím, jak to převést..

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2010 20:51

Kvadratická forma

#2 14. 05. 2010 22:48

Re: Kvadratická forma

#3 15. 05. 2010 08:07

Re: Kvadratická forma

#4 16. 05. 2010 18:43

Re: Kvadratická forma

#5 16. 05. 2010 19:37 — Editoval lukaszh (16. 05. 2010 19:38)

Re: Kvadratická forma

#6 16. 05. 2010 20:15

Re: Kvadratická forma

#7 16. 05. 2010 21:47

Re: Kvadratická forma

Zápatí