Matematické Fórum

xstokla2 · 18. 05. 2010 21:53

Nevím si rady s těmito úlohami,předpokládám že to bude opět jednoduchý :( Předem děkuji za vyřešení!
2. Do rovnostranného trojúhelníku o délce strany a je vepsán kruh, do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník, do něho další kruh atd. Vypočtěte součet obsahů všech takto vzniklých trojúhelníků.
6. Strany čtverce rozdělíme v poměru 3 : 4 tak, aby u každého vrcholu byl jeden díl menší a jeden větší. Spojením dělicích bodů vznikne opět čtverec. Stejným způsobem vepíšeme do něho čtverec další atd.
Určete součet
a)obvodů všech čtverců
b)obsahů všech čtverců

zdenek1 · 19. 05. 2010 07:09

↑ xstokla2:
a)

Poloměr vepsaného kruhu je $r=\frac13 v$ (protože střed je v těžišti a výška je současně těžnice). Výška
$v=\frac{\sqrt3}2a$ (např. z Pythagorovy věty). Tj. $r=\frac{\sqrt3}6a$

Poloměr kružnice opasané $r=\frac a{\sqrt3}$ (např. z kosinové věty $a^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^o$ )
tj $a_2=\sqrt3r=\sqrt3 \frac{\sqrt3}6a_1=\frac{a_1}2$

obsah $S_1=\frac{\sqrt3}4a_1^2$
$S_2=\frac{\sqrt3}4\left(\frac{a_1}2\right)^2=\frac14S_1$
Jedná se o geom. posl. s kvocintem $q=\frac14$ . Protože $|q|<1$ můžeme spočítat
$S_\infty=\frac{a_1}{1-q}=\frac{S_1}{1-\frac14}=\frac43S_1=\frac{\sqrt3}3a_1^2$

Cheop · 19. 05. 2010 09:30 — Editoval Cheop (19. 05. 2010 11:30)

↑ xstokla2:
6)
Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu.
Pro stranu vepsaného čtverce x platí:
$x^2=\left(\frac{3a}{7}\right)^2+\left(\frac{4a}{7}\right)^2\nlx=\frac{5a}{7}$
Kvocient řady q je:
$q=\frac{\frac{5a}{7}}{a}\nlq=\frac{5}{7}$ pro obvod
Pro obsah je kvocient určen jako:
$\frac{\left(\frac{5a}{7}\right)^2}{a^2}\nlq=\frac{25}{49}$
Pro součet obsahů platí:
$S_s=\frac{a^2}{1-\frac{25}{49}}\nlS_s=\frac{49a^2}{24}$
Pro součet obvodů platí:
$S_o=\frac{4a}{1-\frac{5}{7}}\nlS_o=14a$

Edit: opraveno
Doufám, že už dobře.

zdenek1 · 19. 05. 2010 10:08

↑ Cheop:
to není dobře, ta první rovnice je
$x^2=\left(\frac37 a\right)^2+\left(\frac47 a\right)^2$

Cheop · 19. 05. 2010 10:39

↑ zdenek1:
Jo máš pravdu - jdu to přepočítat a opravit.

zdenek1 · 19. 05. 2010 10:51

↑ Cheop:
Asi začínám být otravný, ale teď se mi nelíbí výpočet obsahu
$S_1=a^2$
$S_2=\left(\frac57a\right)^2$ , takže $q$ pro obsah je $q=\left(\frac57\right)^2$