Matematické Fórum

i)
Sporem: Předpokládejme, že existuje nenulová nilpotentní matice (), která je diagonalizovatelná: , kde je regulární matice a je diagonální matice. Pak platí



Zbytek zvládneš?

V poslední rovnosti jsem n-1 krát použil rovnost , kde je jednotková matice. Teď bych třeba porovnal determinant matice úplně vlevo a úplně vpravo.

teď mi naopak došlo, že D^n ale asi může být nulová diagonální matice, to nijak podmínky neomezují, ne? Nějak jsem se v tom zamotal..

Co na to jít přes hodnost - nulová matice má nulovou hodnost. Víme, že násobení regulární maticí nemění hodnost. Proto hodnost matice na pravé straně bude rovna hodnosti matice . Pokud je nenulová, je nenulová hodnost matice a to je spor. Pokud je nulová matice, pak je nulová matice a tedy není nenulová dle předpokladu, což je také spor.

cvičící napsal(a):

Nasledujici dva fakty by bylo treba podrobneji zduvodnit:

  1) Proc je h (R^{-1} D R)^n = h D^n ?
  2) Proc nemuze byt D^n = 0 pro nenulovou D?

Poslete mi prosim novou verzi dukazu.

asi se v tom bude potřeba víc zašťourat.. bohužel mě už nic nenapadá

1)

sporem: Předpokládejme, že existuje nenulová nilpotentní matice A, která je diagonalizovatelná.
   
Tedy existuje regulární matice R a diagonální matice D tak, že rovnost A = R-1DR platí.
Tedy platí rovnost A^n = (R-1DR)^n
Nyní uvažme hodnosti uvedených matic. Víme, že násobení regulární maticí nemění hodnost
matice původní. Tedy h[(R-1DR)^n] je rovna h(D^n). Nyní rozlišíme dva případy.

i)    Matice D je nenulová. Pak ale h(D^n) ≠ 0, což je spor.
ii)    Matice D je nulová. Pak ale nutně A musí být nulová → spor s předpokladem.



2) asi už jsem úplně mimo.. tohle znám a nevím, proč to po mě chtěl.. leda, že by to chtěl dokázat taky

Proč se vlastně rovnice

nevynásobí zleva a zprava? Pokud něco nepřehlížím, tak pak nemusíme vůbec řešit hodnosti.

mno dobře.. dejme tomu, že D^n = 0, takže D = 0.. což nám dává za pravdu tvrzení A = R^-1 D R .. jenže jak dojdeme ke sporu?

↑ Melchior: Na začátku jsme předpokládali, že A je nenulová, a došli jsme k tomu, že je nulová. Spor.

Co se týče druhého, to je triviální důsledek existence Jordanova kanonického tvaru (http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/LA2-10.pdf). Pokud větu o kanonickém tvaru nesmíte použít, pak zkus nastudovat její důkaz a upravit ho tak, aby ti dal co potřebuješ.