Matematické Fórum

Klobas · 21. 05. 2010 21:47

Chtěl bych vědět, proč platí jednotné gravitační zrychlení. Když mám dvě tělesa s různou hmotností, tak ke stejnému zrychlení je potřeba použít různé síly. Ale síla různá být nemůže, tak jak je možné, že padají stejně?

Pavel Brožek · 21. 05. 2010 21:54

Proč by síla nemohla být různá? Gravitační síla je $F=mg$ , je tedy úměrná hmotnosti.

Klobas · 21. 05. 2010 21:58

Protože na ně působí gravitační síla a tělesa jsou od gravitačního pole stejně vzdálené. A gravitační síla závisí na hmotnosti tělesa vytvářejícího pole a vzdálenosti druhého tělesa.

Klobas · 21. 05. 2010 22:11

Chtěl jsem tím říct, jak je možné, že se ta síla mění. Jak to, že Země začne najednou působit větší silou?

medvidek · 21. 05. 2010 22:24

↑ Klobas:
Zeměkoule je spravedlivá a snaží se přitahovat každý atom tělesa odpovídající silou.
No a když se to sečte, vyplyne z toho, že na větší těleso připadne celkově větší síla.
:-)

Pavel Brožek · 21. 05. 2010 22:27

Když si vezmeš Newtonův gravitační zákon

$F_g=G\cdot\frac{m_1m_2}{r^2}$ ,

který vyjadřuje velikost gravitační síly, kterou na sebe působí tělesa o hmotnostech $m_1$ a $m_2$ , tak tam máš jak hmotnost prvního tak druhého tělesa. Když se bere přibližný vztah

$F_g=mg$ ,

hmotnost $m$ v něm vyjadřuje hmotnost tělesa, na které síla působí. Hmotnost Země je schována v g:

$g=G\frac{M_Z}{R_Z^2}$ .

Představ si, že vezmeš dvě cihly. Na každou působí určitá gravitační síla. A teď cihly slepíš k sobě. Pak na ně bude přece působit síla odpovídající součtu sil působících na jednotlivé cihly.

Klobas · 21. 05. 2010 22:35

Už to chápu, ty dva vzorce jsou tedy jeden, ale jinak vyjádřený. A síla je stále stejná, jen působí na víc hmoty. Díky!

Pavel Brožek · 21. 05. 2010 22:46

$F_g=G\cdot\frac{m_1m_2}{r^2}$

Tohle je obecný (nerelativistický) vzorec. Vzorec $F_g=mg$ , kde g je konstanta, platí pouze v homogenním gravitačním poli (což gravitační pole Země není). U povrchu Země však můžeme do jisté míry předpokládat, že pole homogenní je, proto se používá často ten jednodušší vzorec.

Klobas · 21. 05. 2010 22:53

Pokud jsou nicméně ty tělesa umístěné stejně, tak na homogennosti nezáleží. Tak mám ještě jednu otázku:). Nebudu zakládat nové téma, protože spadá pod hlavičku tohohle. Proč je v tom vzorci pro gravitační sílu r^2 a ne r^3, když je to v trojrozměrném prostoru?

Pavel Brožek · 21. 05. 2010 23:09

Pokud jsou nicméně ty tělesa umístěné stejně, tak na homogennosti nezáleží.

Nerozumím, co tím myslíš.

Proč je v tom vzorci pro gravitační sílu r^2 a ne r^3, když je to v trojrozměrném prostoru?

Ta mocnina nesouvisí s dimenzí prostoru. Ta dvojka tam prostě je. Žijeme ve světě, kde je v Newtonově zákoně u vzdálenosti v exponentu dvojka :-). Kdyby tam nebyla dvojka ale jiné číslo, svět by vypadal podstatně jinak.

My předpokládáme, že Newtonův gravitační zákon je správně. Žádný experiment s ním není v rozporu (ve světle teorie relativity musíme ovšem brát jistou limitu malých rychlostí). Pokud vím, tak byly prováděny experimetny, které ověřovaly, že tam je skutečně dvojka a ne nějaké číslo dvojce velmi blízké.

Klobas · 22. 05. 2010 06:44

Pokud jsou nicméně ty tělesa umístěné stejně, tak na homogennosti nezáleží.

Myslel jsem, když jsou umístěné ve stejném bodě, kde je g konstanta naměřěná (jasně, jakmile se jeho pozice změní, tak už neplatí)

A pokud jsem to pochopil správně, neexistuje žádný logický důvod, proč je tam ta dvojka (což je trochu smutné).
Díky za odpovědi:)

Pavel Brožek · 22. 05. 2010 10:04

↑ Klobas:

Pokud vím, tak neexistuje :-).

Kdybys tu dvojku chtěl nějak logicky odvodit, musel bys z něčeho vycházet, těžko si představit, že z ničeho dokážeš logicky odvodit něco. A to z čeho bys vycházel by byly axiomy, o kterých bys předpokládal, že platí (jejich správnost bys mohl testovat jen experimentem). Proč by však takovým axiomem nemohl být už Newtonův gravitační zákon? Axiomů by mělo být co nejméně a měly by být jednoduché - řekl bych, že to Newtonův gravitační zákon dobře splňuje.

medvidek · 24. 05. 2010 16:17

↑ BrozekP:
A nešla by ta dvojka zdůvodnit alespoň v klasické fyzice např. tím, že povrch koule roste s kvadrátem poloměru? Anebo by se jednalo o "circulus vitiosus"?

Rumburak · 24. 05. 2010 16:38

↑ BrozekP:

↑ medvidek:
Správně, ta "dvojka" je , mám za to, rovna "lokální dimensi" jednotkové sféry , tedy kulové plochy v trojrozměrném prostoru,
která je lokálně homeomorfní s dvourozměrnou rovinou. Souvisí to, myslím, s tokem intensity grav. pole touto sférou, v zejímž
středu je Země.

LukasM · 24. 05. 2010 16:58 — Editoval LukasM (24. 05. 2010 16:59)

↑ Rumburak:, ↑ medvidek:
Nejsem sice superodborník, ale neřekl bych že je to zdůvodnění. Je pravda, že pokud tam bude dvojka, pak bude síla se vzdáleností klesat stejně, jako roste povrch koule s poloměrem. Osobně ale nevidím důvod proč by se gravitační pole mělo chovat právě takhle.

Nebo nějaký důvod existuje? Tok intenzity byl ale předpokládám zaveden až ze znalosti gravitačního zákona.

Mám pocit, že podobné otázky řeší Feynman ve svých přednáškách, buď je to v prvním díle právě u gravitačního pole, nebo v druhém u Coulombova. Nejsem si ale jistý k jakému závěru tam dojde, a teď u sebe ty knížky nemám.

Rumburak · 24. 05. 2010 17:23

↑ LukasM:
Díky za upozornění. Je mi jasné, že pouhá geometrie k odvození fyzikálních zákonů nestačí a pokud souvislosti fyziky s geometrií existují,
je asi nutno považovat je za druhotné. Ani já zde nejsem odborník.

zdenek1 · 24. 05. 2010 17:45

Tak jsem se kouknul do Feynmana (1. - Gravitace) a říká tam zhruba toto: Nikdo neví jaký je mechanizmus gravitace (ale je to z r. 1980, možná se to už změnilo) a tudíž nikdo neví proč je to takto a ne jinak a pokud se nám to nelíbí nebo tomu nerozumíme, tak je to náš problém a přírodě je to jedno.

Pavel Brožek · 24. 05. 2010 19:09

↑ zdenek1:

Nevím o tom, že by se něco změnilo. Alespoň na obecné teorii relativity nás ještě tento rok učí, že Einsteinovy rovnice máme brát jako dané, nedokazatelné. Jak je to s nějakými gravitony apod., to netuším, pokud jsem něco nezanedbal, tak jsme se k tomu ještě nedostali.

pietro · 29. 05. 2010 19:00 — Editoval pietro (29. 05. 2010 19:14)

↑ Klobas:Ahoj.. vo vektorovom tvare gravitačného zákona .....máš pravdu...v menovateli je r na 3.

LukasM · 29. 05. 2010 19:11

↑ pietro:
To ale samozřejmě nic nemění na podstatě věci, je to jen matematická šaráda. Jedno to r tam je kvůli znormování vektoru, který udává polohu druhého bodu. Pokud jde o velikost síly, ta klesá se druhou mocninou vzdálenosti.

pietro · 29. 05. 2010 19:22 — Editoval pietro (29. 05. 2010 20:09)

↑ LukasM:chcel som proste potešiť túžbu po estetike, ked sme v 3D tak by malo byť na 3 :-)

pietro · 29. 05. 2010 21:18

Nemáte náhodou niekto detailnejší popis ako sa rodil tento zákon? Zdá sa mi že Newton a jeho súčasníci sa jednoducho triafali do nameraných údajov, skúšali rôzne funkčné tvary a Newton dostal od niekoho iného inšpiráciu, že to bude r na 2 a tú potom predniesol na vedeckom fóre.

koudis · 30. 05. 2010 12:00

↑ Klobas:
snad jenom poznamenat ... existeje jednotka("energ. pritazlovost" nebo absolutni - to se ale asi moc nepouziva) ktera vyjadruje "kolik Newtonu pusubiciho telesa(1) pripada na jednotku energie telesa(2),l" [N/J] ... vezmete silu kulicky na zemi a podelite to energie zeme .. nebo vezmete silu zeme na kulicku a podelite energiikulicky ... Neboli podle einstaina (jednoduse :)) ... gravitacni sila je mirou zakriveni prostoru (a zase v uvozovkach --> to vyjadruje ta jednotka N/J)
J

pietro · 01. 06. 2010 21:14

↑ koudis:ahoj...to je asi na dlhsiu debatu..dakujem za namet......skumam ho...

Rumburak

↑ pietro:
Newton odvodil svůj gravitační zákon z Keplerových zákonů o pohybu planet Sluneční soustavy.
KZ byly objeveny a zformulovány na základě astronomických pozorování. Připomeňme si je.

(I) Drahami planet jsou elipsy málo odlišné od kružnic, v jejichž společném ohnisku leží Slunce.

(II) Za dobu $\Delta t$ průvodič pozorované planety opíše plochu $\Delta S$ přímo úměrnou době $\Delta t$ .

(III) Jsou-li $T_1$ , $T_2$ oběžné doby dvou pozorovaných planet s hlavními poloosami délek $a_1$ , $a_2$ , potom

$$\frac{T_1}{T_2}$^2 = $\frac{a_1}{a_2}$^3$ .

Z (III) odvodíme, že je-li $T$ oběžná doba zvolené planety a $a$ délka její hlavní poloosy, potom

(1) $\frac {T^2}{a^3}\, = \,K$ ,

kde $K$ je konstanta platná pro všechny planety Sluneční soustavy a tedy blíže nezávislá na jednotlivých planetách.

Na základě (I) lze usoudit, že přípustnou drahou pro těleso obíhající okolo Slunce je i kružnice, v jejímž středu leží Slunce.
Mějme tedy těleso o hmotnosti $m$ , které takto obíhá okolo Slunce po kružnici o poloměru $r$ a s oběžnou dobou $T$ .
Z (II) plyne, že jeho rychlost $\vec v$ má stálou velikost

$v = \frac {2\pi r}{T}$ .

Má-li být takto se pohybující těleso udrženo na své dráze, musí na ně působit dostředivá síla velikosti

(2) $F = \frac {mv^2}{r} = \frac {m}{r}\,$\frac {2\pi r}{T}$^2= \frac {m}{r}\,\frac {(2\pi r)^2}{T^2}=\frac {m}{r}\,\frac {(2\pi r)^2}{Kr^3}=\frac{4\pi^2}{K}\,\frac{m}{r^2}$ .

(použili jsme též (1)). Tato síla musí symetrickým způsobem záviset na hmotnosti $M$ Slunce, tudíž musí platit

(3) $F =\frac{4\pi^2}{L}\,\frac{M}{r^2}$ ,

kde $L$ je konstanta nezávislá na Slunci. Porovnáním rovností (2), (3) obdržíme

$\frac {m}{K}\,=\frac {M}{L} = \lambda \cdot m M$ ,

kde $\lambda$ je konstanta, která nezávisí ani na jednotlivých planetách ani na Slunci. Položíme-li dále $\kappa = 4 \pi^2 \lambda$ ,
pak z (2) resp. (3) získáváme

$F =\kappa \cdot \frac{Mm}{r^2}$ .

Newton usoudil, že gravitační síla podle této formule existuje mezi každými dvě tělesy, nejenom nezi zvolenou planetou a Sluncem .