Matematické Fórum

janca361 · 22. 05. 2010 18:33

Vypočtěte povrch pravidelného pětibokého jehlanu s výškou 11 cm a podstavnou hranou délky 4cm.

S=Sp+Spl

Sp - obsah pravidelného pětiúhelníku o straně a=4 cm Jak vypočítat?

teolog · 22. 05. 2010 18:41

↑ janca361:
Pomůže Vám toto?

frank_horrigan

↑ janca361:

Sp = $http://upload.wikimedia.org/math/3/f/e/3feeaca43d2db5dc545c97060475a6f2.png$ kde a = 4
Spl budeš mít pět rovnoramenných trojúhelníků o základně 4, výšku (myslím pláštovou, nebo stranovou, tělesovou máš zadanou) si dopočítej z pythagora, jako přeponu z odvěsen 11 a druhá odvěsna bude mít délku $http://upload.wikimedia.org/math/3/b/b/3bb10ee503de0e54cec2efdf67925e40.png$ , kde a= zase 4. Už to dokážeš dopočítat?

EDIT: ty vzorce jsou převzatý z wikipedie, ta odmocnina v čitatelích je přes celou závorku (u obou vzorců).

janca361 · 22. 05. 2010 19:25

↑ frank_horrigan:

Ano.
Jen ten druhý vzorec nechápu co se pomocí něj má vypočítat, ale vypočítala jsem to jinak - složitěji.

frank_horrigan

↑ janca361:

Potřebuješ přece výšku trojúhelníku, abys spočítala obsah. Je to vzorec pro vypocet poloměru opsané kruznice, abys měla druhou odvěsnu a z pythagora si mohla nahodit tu stěnovou výšku :)

EDIT: tělesovou výšku ti tvoří úsečka o krajních bodech vrchol, střed kružnice opsané. Na té leží všechny vrcholy pětiúhelníku. Tělesová výška je na rovinu podstavy (a tedy rovinu kružnice) kolmá ->> pravoúhlý troj. Jasné?

janca361 · 22. 05. 2010 19:40

Ano.

byk7 · 23. 05. 2010 08:58 — Editoval byk7 (23. 05. 2010 09:12)

Obsah jde spočítat i jinak:
1) rozděl si 5-úhelník na 5 shodných rovnoramenných trojúhelníků
2) úhel při vrcholu proti základně bude mít velikost $\frac{360}{5}=72^\circ$
3) označme stranu 5-úhelníku (a současně základnu trojúhelníku) jako $a$
4) rozdělím si trojúhelník výškou na základnu na 2 shodné pravoúhlé trojúhelníky
5) úhel $72^\circ$ se ti rozdělí na dva stejně velké 36°-ové úhly
6) použiješ tangens - jednu odvěsnu znáš (x/2), druhou teď dopočítáš:
$\tan{36^\circ}=\frac{\,\,\frac{x}{2}\,\,}{v}\rightarrow v=\frac{x}{2\cdot\tan{36^\circ}}$
7) spočítáš obsah 1 rovnoramenného trojúhelníku:
$S_0=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{x}{2\cdot\tan{36^\circ}}=\frac{x^2}{4\cdot\tan{36^\circ}}$
8) spočítáš obsah 5-úhelníku tak, že vynásobíš obsah 3-úhelníku 5:
$S_{\rm{petiuhelniku}}=5\cdot S_0=\frac{5}{4\cdot\tan{36^\circ}}\cdot x^2$
Máme obsah podstavy, teď dopočítat obsah pláště (v_z je výška na podstavu):
1) vypočítáš si výšku jednoho dílku pláště:
$v^2=\frac{x^2}{4\cdot\tan^2{36^\circ}}+{v_z}^2 \nl \ \nl v=\sqrt[2]{\frac{x^2}{4\cdot\tan^2{36^\circ}}+{v_z}^2}$
2) obsah jednoho dílku:
$S_{\rm{dilku}}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\sqrt[2]{\frac{x^2}{4\cdot\tan^2{36^\circ}}+{v_z}^2}$
3) obsah pláště:
$S_{\rm{plaste}}=\frac{5}{2}\cdot x\cdot\sqrt[2]{\frac{x^2}{4\cdot\tan^2{36^\circ}}+{v_z}^2}$

určíme povrch:
$S=S_{\rm{petiuhelniku}}+S_{\rm{plaste}}=\frac{5}{4\cdot\tan{36^\circ}}\cdot x^2+\frac{5}{2}\cdot x\cdot\sqrt[2]{\frac{x^2}{4\cdot\tan^2{36^\circ}}+{v_z}^2}$