Matematické Fórum

Lighter · 25. 05. 2010 15:39

Ahoj,

mám problém s tímto příkladem, jde především o to, že nevím jak na integrál, střední hodnota je už jen trivialitka.

(x^2)/(2x-1) pro x od 1 do 4 (uzavřený interval)

zkoušel jsem per partes, ale to mi vyjde
x^2 * ln(2x - 1) - int(2x * ln(2x - 1))dx - intervaly do vypočtu nezahrnuju, to si pak dopočítám

Nevíte někdo jak na to ?

Díky za pomoc

Olin · 25. 05. 2010 16:03

Chápu správně, že jde pouze o výpočet
$\int \frac{x^2}{2x-1}\mathrm{d}x$ ?
Stačí čitatele podělit jmenovatelem a dostaneme takovýto rozklad, který už se integruje snadno.

Rumburak · 25. 05. 2010 16:04

Zde se s per partes příliš nechytíme, je nutno polynomy vydělit . Dostaneme pak funkci tvaru Ax + B + C/(2x - 1),
jejíž integrace už je snadná.

Lighter · 25. 05. 2010 16:10

Teď trošku nechápu jak to myslíte s tím dělením, na této stránce http://www.wolframalpha.com/input/?i=ap … 2x-1%29%29 je videt výsledek po dělení, ale opravdu nevím, jak ho získat.

Rumburak · 25. 05. 2010 16:16

Třeba tak, že výraz Ax + B + C/(2x - 1) převedu na spol. jmenovatele a polynom, který tím získám v čitateli,
porovnám s polynomem x^2 v čitateli dané funkce . Dostanu tak rovnice pro neznámé A, B, C.

Lighter · 25. 05. 2010 16:41

Můžete mi napsat alespon částečný postup, pořád nevím, co mám udělat. Na společném jmenovateli už to x na druhou je.

Rumburak

↑ Lighter:
Takže výraz Ax + B + C/(2x - 1) je už převeden na spol. jmenovatele.
A co vyšlo v čitateli ?

Lighter · 25. 05. 2010 16:57

V čitateli je x na druhou
ve jmenovateli je 2x - 1

Rumburak

Öpravdu ? Asi jsi nepochopil, co jsi měl udělat. :-)
Převodem Ax + B + C/(2x - 1) na spol. jm. dostaneme v čitateli 2Ax^2 + (2B - A)x + (C - B) ,
to porovnáme s původním x^2 a z tohoto porovnání dostaneme rovnice

2A = 1,
2B - A = 0,
C - B = 0

a ty vyřešíme.

Olin · 25. 05. 2010 17:11

Alternativní postup: "tupě" podělíme polynom $x^2$ polynomem $2x-1$ , což se myslím učí běžně na středních školách.

Lighter · 25. 05. 2010 17:52

Olin: To jsem udělal, vyšlo mi 0,5x + 0,25 + 0,25/(2x - 1) a nevím co s tím dál

stenly · 25. 05. 2010 17:54

↑ Lighter:

Lighter · 25. 05. 2010 18:48

stenly: Díky moc, jen teda ještě jeden dotaz, myslím, že tam máš chybu. Nemá tam být 1/4 Ln(2x - 1) ? Nějak nevím kde jsi vzal 1/8. Sice to tam počítáš, ale nějak se ti tam jentak objevilo číslo 2 v čitateli toho zlomku vpravo dole.

Olin · 25. 05. 2010 18:57

Chyba tam není. Buď to přepíšeme jako $\frac{\frac 14}{2x-1} = \frac 18 \cdot \frac{1}{x - \frac 12}$ , nebo použijeme substituci $2x = y,\, 2\mathrm{d}x = \mathrm{d}y$ .

Lighter · 25. 05. 2010 19:25

No ale přeci integrál 2/(2x - 1) není ln(2x - 1)....

jelena · 25. 05. 2010 19:39

↑ Lighter:

tak si to rozepíš přes substituci $(2x - 1)=t$ , $2dx=dt$ , $dx=\frac{dt}{2}$ , integrujeme $\int\frac{2dt}{2t}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|=\ln|2x-1|+C$

Co se na tom nezdá? Děkuji.

Lighter · 26. 05. 2010 19:15

Aha, já doted žil v domění že integrál 1/(2x - 1) = ln|2x - 1| , že 1 lomeno cokoliv je Ln toho co je ve jmenovateli, tak to pak jo no, tak díky.

jendula11

↑ Lighter:

platí toto

$\int\frac{f'(x)dx}{f(x)}=ln(f(x))+C$

Lighter · 26. 05. 2010 21:31

Díky moc, teď už to smysl dává. Dík za pomoc.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2010 15:39

Střední hodnota, nevím jak na integrál

#2 25. 05. 2010 16:03

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#3 25. 05. 2010 16:04

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#4 25. 05. 2010 16:10

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#5 25. 05. 2010 16:16

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#6 25. 05. 2010 16:41

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#7 25. 05. 2010 16:49 — Editoval Rumburak (25. 05. 2010 16:51)

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#8 25. 05. 2010 16:57

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#9 25. 05. 2010 17:06 — Editoval Rumburak (25. 05. 2010 17:18)

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#10 25. 05. 2010 17:11

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#11 25. 05. 2010 17:52

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#12 25. 05. 2010 17:54

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#13 25. 05. 2010 18:48

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#14 25. 05. 2010 18:57

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#15 25. 05. 2010 19:25

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#16 25. 05. 2010 19:39

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#17 26. 05. 2010 19:15

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#18 26. 05. 2010 19:51 — Editoval jendula11 (26. 05. 2010 19:52)

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

#19 26. 05. 2010 21:31

Re: Střední hodnota, nevím jak na integrál

Zápatí