Matematické Fórum

mesie · 19. 05. 2010 19:04

Prosím nevím so rady s příkladem:
Zadání:
Provedťte rozbor úhlového rozložení intenzity od (a) tří a
(b) pěti identických zdrojů vlnění, ležících na přímce ve vzdálenosti a od sebe. Předpokladejte, že a= λ děleno 2.

Děkuji

medvidek

↑ mesie:
Zajímá nás úhlové rozložení pole => úlohu řešíme v přiblížení tzv. vzdáleného pole (ve Fraunhoferově zóně).
Lidsky řečeno předpokládáme, že vzdálenost bodu zájmu - místa pro výpočet pole (stínítka) je podstatně větší než vlnová délka a rozměry soustavy zdrojů.

Výsledné pole ve vzdáleném bodě bude superpozicí polí bodových zdrojů
$E=\sum_{n=1}^N E_o e^{i(kr_n-\omega t)}$ (1)
$N$ je počet zdrojů,
$k=\frac{2\pi}{\lambda}$ je vlnové číslo ( $\lambda$ je vlnová délka),
$r_n$ je vzdálenost mezi n-tým zdrojem a místem, v němž pole počítáme,
$\omega t$ je časově proměnný fázový faktor.

V případě přímkového uspořádání zdrojů ve vzájemné vzdálenosti $a$ , lze dráhový rozdíl $\Lambda$ mezi vlnami přicházejícími od dvou sousedních zdrojů vyjádřit takto
$\Lambda=r_{n+1} \ - \ r_n= a \cdot \sin \Theta$
kde $\Theta$ je difrakční úhel (svírán mezi kolmicí na přímku se zdroji a spojnicí mezi soustavou zdrojů a vzdáleným bodem).
Místo dráhového rozdílu $\Lambda$ budeme raději používat fázový rozdíl $\delta$
$\delta=k \Lambda = \frac{2 \pi}{\lambda} \Lambda= \frac{2 \pi}{\lambda} a \cdot \sin \Theta$ (2)

Amplitudu $E_o$ lze ve Fraunhoferově zóně považovat za stejnou pro všech $N$ zdrojů, proto ji lze v (1) vyjmout před sumu a vztah upravit
$E=E_o e^{-i \omega t}e^{i kr_1}\sum_{n=1}^N e^{ik(r_n-r_1)}$ (3)

Zbytek úlohy v podstatě spočívá v úpravách výrazu v sumě
$\sum_{n=1}^N e^{ik(r_n-r_1)} \ = \ \sum_{n=1}^N e^{i\delta(n-1)} \ = \ \frac{e^{iN \delta}-1}{e^{i \delta}-1} \ = \ \frac{e^{iN \delta /2}}{e^{i \delta /2}} \ \cdot \ \frac{e^{iN \delta /2}-e^{-iN \delta /2}}{e^{i \delta /2}-e^{-i \delta /2}} \ = \ e^{i(N-1) \delta /2} \ \cdot \ \frac{\sin(N \delta /2)}{\sin(\delta /2)}$
kde jsme využili vzorec pro součet geometrické řady a zápis komplexního čísla v goniometrickém tvaru. Vztah (3) lze nyní zapsat takto
$E=E_o e^{i(kR- \omega t)} \ \cdot \ \frac{\sin(N \delta /2)}{\sin(\delta /2)}$ (4)
kde jsme pro zkrácení zápisu zavedli $R=r_1+ \frac{1}{2}(N-1) \Lambda$ .
Snadno lze vidět, že $R$ představuje vzdálenost mezi středem soustavy zdrojů a vzdáleným bodem.
Protože intenzita je úměrná kvadrátu amplitudy, bude rozložení intenzity následující
$I=I_o \ \cdot \ \frac{\sin^2(N \delta /2)}{\sin^2(\delta /2)}$ (5)
Dosazením z (2) kde podle zadání $a=\frac{\lambda}{2}$ dostaneme závislost intenzity na úhlu $\Theta$
$I=I_o \ \cdot \ \frac{\sin^2(N \frac{\pi}{2}\sin \Theta)}{\sin^2(\frac{\pi}{2}\sin \Theta)}$ (6)

EDIT: Graf závislosti úhlového rozložení intenzity (6) pro soustavu pěti bodových zdrojů:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pl … C+25%7D%5D

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2010 19:04

Zdroje vlnění

#2 27. 05. 2010 05:23 — Editoval medvidek (27. 05. 2010 05:31)

Re: Zdroje vlnění

Zápatí