Matematické Fórum

figo · 26. 05. 2010 21:20 — Editoval figo (26. 05. 2010 22:43)

Nevím si rady s vyšetřením funkce
$\sqrt{X^4-X^2}$

můj postup:

1. určil jsem si Def. obor to je ( - nekonečno ; -1 > a < 1 ; + nekonečno)
2. Našel jsem nulové body 1,0 (a podle mě i -1 protože se jedná o absolutni hodnotu X )
3. Výpočet limitu pro x jdoucí k ± nekonečno vždy jde + nekonečnu
4. Pak jsem provedl první derivaci kdy mi pomocí wolframe vyšlo
$\frac{4X^3-2X}{2\sqrt{X^4-X^2}}$

no pak se mi podařilo ještě úprava vytýkáním 2x a nevím jak dále tuto funkci upravit abych z ní dostal nulové body, také jak by asi měl vypadat průběh grafu, a zdali je můj dosavadní postup správný

LukasM · 26. 05. 2010 21:33

↑ figo:
1. V definičním oboru ti chybí nula, ztratil jsi ji patrně když jsi při řešení nerovnice $x^4-x^2>=0$ dělil x.
2. Nulové body jsou správně, -1 tam patří samozřejmě taky, $x^2(x^2-1)=0$ má právě ty tři kořeny co píšeš.
3. Ano.
4. Kdy je zlomek roven nule? Když je roven nule jeho čitatel. Nesmíš ale pak zapomenout ověřit, že v těch bodech co ti vyjdou je ta derivace vůbec definována.

figo · 26. 05. 2010 23:05 — Editoval figo (27. 05. 2010 15:03)

no na tu nulu jsem pozapoměl dík

a pokud jsem dobře pochopil tvou radu tak po upravě na tento tvar $\frac{4X^2-2}{(X-1) (X+1)}$ se $4X^2-2 = 0$ a kořeny jsou potom plus mínus $\frac{1}{\sqrt2}$

figo · 27. 05. 2010 15:32

5. Definiční obor první derivace mi vyšel (- nekonečna 0 ) a (0 + nekonečno) z toho tedy plyne, že 0 je bod nespojitosti ?

6. zjistil jsem že funkce po první derivaci je na všech intervalech kladná to znamená že je na všech intervalech rostoucí jak mám tedy určit Lokální max. a min. nebo snad žádné nejsou ??

halogan · 27. 05. 2010 15:40

↑ figo:

1) Dosaď do té derivace jedničku.

2) Nevím, jak jste si definovali bod nespojitosti, ale když se podíváš na definiční obor funkce, tak tam bdue nula docela osamocená, ne?

LukasM · 27. 05. 2010 15:57

↑ figo:
Ta úprava na "tento tvar" se mi nezdá provedená úplně správně, jmenovatel bude vypadat jinak, pokud vidím dobře.. Ale i z té špatné derivace jsi udělal špatné závěry, jak naznačuje kolega halogan.

figo · 27. 05. 2010 19:19

to LukasM no derivaci jsem si ověřoval ve wolframu asi jsem zmršil tu úpravu po opravě mi vyšlo toto $\frac{2X^2-1}{X^2-1}$

- Definiční obor vyšel při této nové upravě R / {-1,1} kořeny vyšli + - $\frac{1}{\sqrt2}$ a zároveň vyšlo, že:

$-\frac{1}{\sqrt2}$ - je lokální minimum

$\frac{1}{\sqrt2}$ - je lokální maximum

- Dále jsem vypočítal druhou derivaci ta mi vyšla $\frac{4x*(x^2-1) - (2x^2-1)*2x}{(x^2-1)^2}$ a tuto jsem upravil $\frac{-2x}{(x^4-1)}$

- inflexní bod mi vyšel x=0

- body nespojitosti -1 a 1

- a vyšlo mi že je v intervalech:

(- nekonečna, -1) konvexní
( -1/2 , 0 ) konkavní
( 0 , 1/2 ) konvexní
(1, nekonečna ) konkavní

A teď hurá na asymptoty

figo · 27. 05. 2010 22:52

mám takový dotaz můžu si funkci $\sqrt{X^4-X^2}$ upravit na $x^2-\lfloor x \rfloor$ změní se Definiční obor z ( - nekonečno ; -1 > a {0} a < 1 ; + nekonečno) na všechna reálná čísla?

LukasM · 27. 05. 2010 23:50 — Editoval LukasM (29. 05. 2010 09:45)

↑ figo:
Nevím co značíš tím $\lfloor x \rfloor$ , já to znám jako symbol pro dolní celou část, a v tom smyslu se změní nejen definiční obor, ale i ta funkce, takže to tak upravit nejde.

Ale hlavně k tvému příspěvku #7. Bohužel se obávám, že je v něm špatně prakticky všechno. Ta úprava co jsem ti říkal že máš špatně je špatně pořád, mně alespoň vychází $\frac{4X^3-2X}{2\sqrt{X^4-X^2}}=\frac{4x^3-2x}{2x\sqrt{x^2-1}}=\frac{2x^2-1}{\sqrt{x^2-1}}$ . Logicky ti tedy vyjde jiný definiční obor první derivace a jiné stacionární body. Jinak při tvém výpočtu tě mělo trknout, že funkce, jejíž definiční obor je $(-\infty,-1>\cup \{0\}\cup <1,+\infty)$ těžko bude mít lokální extrémy v bodech $\pm \frac{1}{sqrt{2}}=\pm \frac{sqrt{2}}{2}\approx \pm 0.707$ .

Dál ti potom samozřejmě vyjde jiná druhá derivace a uděláš z ní jiné závěry o inflexích a intervalech konvexnosti/konkávnosti. Z těch co ti vyšly jsou mimochodem dva nesmyslné (nekryjí se s definičním oborem původní funkce, stejně jako prve ty stac. body).
Jinak k tomu jak sis upravil tu svou špatnou druhou derivaci (ona je tedy dobře, ale je udělaná ze špatné první derivace).. $(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1\neq (x^4-1)$ .

figo · 01. 06. 2010 19:48

děkuji za pomoc projekt jsem již odevzdal povedlo se mi dostat až k druhé derivaci kde jsem se zasekl nějak mi nechtěla vyjít takže jsem nemohl vypočítat ani asymptoty a už nezbýval čas.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2010 21:20 — Editoval figo (26. 05. 2010 22:43)

vyšetření průběhu funkce

#2 26. 05. 2010 21:33

Re: vyšetření průběhu funkce

#3 26. 05. 2010 23:05 — Editoval figo (27. 05. 2010 15:03)

Re: vyšetření průběhu funkce

#4 27. 05. 2010 15:32

Re: vyšetření průběhu funkce

#5 27. 05. 2010 15:40

Re: vyšetření průběhu funkce

#6 27. 05. 2010 15:57

Re: vyšetření průběhu funkce

#7 27. 05. 2010 19:19

Re: vyšetření průběhu funkce

#8 27. 05. 2010 22:52

Re: vyšetření průběhu funkce

#9 27. 05. 2010 23:50 — Editoval LukasM (29. 05. 2010 09:45)

Re: vyšetření průběhu funkce

#10 01. 06. 2010 19:48

Re: vyšetření průběhu funkce

Zápatí