Matematické Fórum

Sojkicz · 27. 05. 2010 16:06

Dobrý den, nějak nemůžu přijít na to, jak určit součet řady, ve které je faktoriál. Například
SUM (k=0 to inf) [ x^(4k) / (4k)! ]
nakopl by mě někdo prosím?

Stýv · 27. 05. 2010 17:04

nevim, jestli je to ideální způsob, ale... jak vypadá čtvrtá derivace?

Sojkicz · 27. 05. 2010 18:48

↑ Stýv:
Tady si právě myslim, že derivace moc nepomůžou. Pokud se nepletu tak ve 4. derivaci bude něco jako
SUM (k=4? to inf) [ x^(4k-4) / (4k-4)! ]
a to aspoň mě moc nepomáhá :)
PS: u tý "dolní meze" je otazník, protože podle věty o derivaci mocninných řad by tam asi být měla, já většinu příkladů nechával co tam bylo a vyšlo mi to, ale tady by se zase objevilo(-4)! což myslím není definovaný výraz.

Stýv · 27. 05. 2010 18:56

ta dolní mez bude k=1, takže se to dá posunout pěkně do 0

Sojkicz · 27. 05. 2010 19:32

Což stejně neřeší součet té řady :)

Stýv · 27. 05. 2010 19:50

z toho přece plyne hezká rovnice y''''=y

Torpy · 27. 05. 2010 21:43

Zdravím,
příklad bych řešil takhle:

sumu bych si rozepsal na součet dvou: $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}=\frac12(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!})$

Ta druhá je rovna $cos(x)$

Tu první bych si opět rozepsal, na součet dvou exponenciál: $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=\frac12(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^k}{k!})$

Ta první je rovna $e^x$ , ta druhá $e^{-x}$

Tedy $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=cosh(x)$

Celkem tedy:
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}=\frac{cosh(x)+cos(x)}{2}$