Matematické Fórum

LjuBoHykl

Zkousel jsem spocitat jako konecny postup k vysledku vypoctu a neslo me to porad.... prosil bych aby nekdo me poradil jak to ma vypocitat postupne ....

$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{(4i)^n}-\frac{1}{5^{n+1}}\right)$
Děkuji mooooc....

Marian · 25. 03. 2008 07:53 — Editoval Marian (25. 03. 2008 07:53)

Je to trochu spatne zapsane. Pravdepodobne to melo vypadat takto:

$\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{(4i)^n}-\frac{1}{5^{n+1}}\right )$ .

I tak ale neni zrejme ze tveho zadani, co znaci symbol "i". V podstate mame dve moznosti. Bud se jedna o imaginarni jednotku, v tom pripade volime pismo vzprimene, nebo to budu chapat presne tak, jak to mas zapsane, tedy ze se jedna o papametr (pro jednoduchost tve ulohy pravdepodobne realny). Jedna-li se o imaginarni jednotku, melo by to vypadat takto:

$\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{(4{\mathrm i})^n}-\frac{1}{5^{n+1}}\right )$ .

Upresni a prokontroluj zadani tve ulohy.

LjuBoHykl · 25. 03. 2008 08:01

Omlouvám se, jasně co jste napsal, je to přesné zadání. a nápověda je napsáno, že algebraicky vypočítat i v komplexním čísle.

Marian · 25. 03. 2008 21:09 — Editoval Marian (25. 03. 2008 21:09)

Da sepostupovat treba takto:

$S:=\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{(4{\mathrm i})^n}-\frac{1}{5^{n+1}}\right )=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4{\mathrm i})^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4{\mathrm i})^n}-\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}}.$

Pouzije se dale vzorec

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{z^n}=\frac{1}{z-1},\qquad\forall z\in\mathbb{C}:\: |z|>1.$

Dale uz je to jenom lehke dosazovani. Pokud znaci "i" imaginarni jednotku, pro kontrolu je vysledek po uprave

$S=\frac{47}{68}-\frac{4{\mathrm i}}{17}.$

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2008 00:26 — Editoval LjuBoHykl (25. 03. 2008 00:28)

Sectete následující rady...

#2 25. 03. 2008 07:53 — Editoval Marian (25. 03. 2008 07:53)

Re: Sectete následující rady...

#3 25. 03. 2008 08:01

Re: Sectete následující rady...

#4 25. 03. 2008 21:09 — Editoval Marian (25. 03. 2008 21:09)

Re: Sectete následující rady...

Zápatí