Matematické Fórum

vasek125 · 29. 05. 2010 21:32

Prosím poraďte mi, jak mám upravit/zjednodušit rovnici pomocí transformace do nových nezávislých proměnných u=y, v=y/x. Rovnici sem psát nebudu(dosadit už pak do ní zvládnu). Co nevím jsou parciální derivace druhého řádu. Zatím jsem se dopracoval jen k:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial v} \frac{-y}{x^2}$
$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial v} \frac{-y}{x^2})$ - nejsem si jistý jestli mám vůbec tohle správně, každopádně nevím jak to dopočítat
pak bych ještě potřeboval $\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} =?$
Může mi někdo prosím napsat výsledek těch druhých derivací i s postupem?

Pavel Brožek

Rozepiš si to jako derivaci součinu. Máš to zatím dobře.

Jen takové povídání:

Ty máš funkci $f(u,v)$ proměnných $u$ a $v$ . Když přecházíš k novým proměnným $x$ a $y$ , chápeš $u$ a $v$ jako funkci proměnných $x$ a $y$ : $u(x,y)$ , $v(x,y)$ . Funkci $f$ pak chceme chápat jako funkci $x$ a $y$ . To už bude jiná funkce, proto ji označme $F$ (obvykle se značí stejně jako fukce původní, tedy $f$ , protože je z kontextu zřejmé, jaké proměnné do ni máme dosazovat, jestli $x$ a $y$ nebo $u$ a $v$ ).

$F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))$

Teď tu funkci chceme parciálně derivovat např. podle $x$ .

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}(u(x,y),v(x,y))=$

nyní používám pravidlo pro derivování složené funkce

$=\frac{\partial f}{\partial u}(u(x,y),v(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial v}(u(x,y),v(x,y))\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$

Závorky za parciálními derivacemi neznamenají násobení, ale v jakém bodě parciální derivaci vyhodnocujeme.

Je to takhle trochu srozumitelnější, nebo jsem to úplně zamlžil? Myslím, že když tohle člověk pochopí, nemělo by mu už dělat problém vymyslet, jak bude vypadat druhá parciální derivace :-)

vasek125 · 29. 05. 2010 22:18

Mám to teď ještě malinko zamlženější :-), ale prakticky: když derivuju normálně součin tak to bude asi vypadat takhle ne? V druhé derivaci už mě zajímá jen výsledek první (bez aplikací nějakých pravidel pro transformaci) že?
$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{-y}{x^2} \frac{\partial f}{\partial v} ) = \frac{\partial}{\partial x} \frac{-y}{x^2} \frac{\partial f}{\partial v} - \frac{y}{x^2} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{2yx}{x^4} \frac{\partial f}{\partial v} - \frac{y}{x^2} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial v}$
Je to správně? Dá se to ještě nějak upravit/zjednodušit (třeba něco s tím $\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial v}$ )?

Pavel Brožek · 29. 05. 2010 23:32

↑ vasek125:

Myslím, že to je v pořádku. Dále se derivuje opět jako složená funkce:

$\frac{\partial}{\partial x}$ \frac{\partial f}{\partial v}$=\frac{\partial}{\partial v}$\frac{\partial f}{\partial v}$\cdot\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial u}$\frac{\partial f}{\partial v}$\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2010 21:32

Zjednudušení rovnice s parciálníma derivace pomocí transformace

#2 29. 05. 2010 21:37 — Editoval BrozekP (29. 05. 2010 22:00)

Re: Zjednudušení rovnice s parciálníma derivace pomocí transformace

#3 29. 05. 2010 22:18

Re: Zjednudušení rovnice s parciálníma derivace pomocí transformace

#4 29. 05. 2010 23:32

Re: Zjednudušení rovnice s parciálníma derivace pomocí transformace

Zápatí