Matematické Fórum

Herly · 30. 05. 2010 13:36 — Editoval Herly (30. 05. 2010 13:40)

ahoj všem, mám problém s následujícími třemi příklady. vůbec netuším jak na ně. Prosím o radu. zadání jsou:

1) Sestavte kubickou rovnici, znáte-li dva její kořeny x1=-2, x2 = 1+2i
2) Na množině komplexních čísel rozložte na součin kořenových činitelů výrazy: a) x^4-16 b) x^3+1
3) Řešte binomickou rovnici a její řešení znázorněte v Gaussově rovině a)x^6-1 = 0 b)x^4+16=0

To znázornění v Gaussově rovině umím (pokud teda výsledný tvar bude a+bi). a prosím i o nějaký komentář k těm postupům ať sem schopný to u maturity obhájit.

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 13:41

1) Např. $(x-(-2))\cdot(x-(1+2\rm{i}))\cdot(x-73)=0$ . Je zřejmé, že když dosadíme x1 nebo x2, tak jedna závorka bude nulová a tedy x1 a x2 jsou jejími kořeny.
2) Využij vzorce $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ a $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
3) http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_rovnice

Herly · 30. 05. 2010 14:09

jo diky to pomohlo...jen u toho prvního to nesedi. znam ve skutecnosti tri koreny. ten treti je totiz komplexne sdruzeny k druhemu.

co sem se dověděl tak existují dva způsoby. bud si prevedu ax^3+bx^2+cx+d = a(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) a jednotlivé x1,x2,x3 dosadím - pak ale nechapu jak zjistit to a. mam tun apsané že a=1 ale nemám tušení jak se na to přišlo.

nebo druhý způsob přes vietovy vzorce kdy pocitam s x2 a x3 a spocitam c a d (vyjde -2 a 5) a potom z toho udělám (x^-2x+5)*(x+2) ale opět nechápu jak to z toho udělám a kde se vzalo ze a=1. prostě sem z toho uplně zmatený vuebc tomuhle postupu nerozumím. může mi to prosím někdo (pokudmožno co nejvíc detailně) objasnit?

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 14:15

↑ Herly:

a je 1 pouze proto, že to je nejjednodušší. Kdyby bylo třeba 2, pořád by to byla kubická rovnice a pořád by měla stejné kořeny.

Třetí kořen si můžeš vymyslet (já jsem si zvolil x3=73), nemusí to být nutně komplexně sdružené číslo k 1+2i. To by to muselo být pouze v případě, že by výsledná kubická rovnice měla mít reálné koeficienty. Ale o tom se zadání vůbec nezmiňuje.

Herly · 30. 05. 2010 14:32

takze a je libovolne a muzu si tam dosadit co chci? a muzesm i prosimte jeste vysvetlit ten durhy zpusob s temi vietovymi vzorci? kde se vzalo to (x^-2x+5)*(x+2)?

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 14:39

$(x-(1+2\rm{i}))(x-(1-2\rm{i}))=x^2-2x+5$ , ale není mi jasné, co konkrétně postupem přes Vietovy vzorce myslíš.

Je jedno, jaké bude a, ale je většinou vhodné ho volit 1, protože se to tak nejčastěji píše.

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2010 13:36 — Editoval Herly (30. 05. 2010 13:40)

komplexní čísla

#2 30. 05. 2010 13:41

Re: komplexní čísla

#3 30. 05. 2010 14:09

Re: komplexní čísla

#4 30. 05. 2010 14:15

Re: komplexní čísla

#5 30. 05. 2010 14:32

Re: komplexní čísla

#6 30. 05. 2010 14:39

Re: komplexní čísla

Zápatí