Matematické Fórum

Ignatius · 31. 05. 2010 09:24

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s řešením příkladu :
dv/dt = A - B . v^2

Děkuji za pomoc.

jendula11 · 31. 05. 2010 09:34

↑ Ignatius:

Jestli na to spráně koukám tak je to diff. lineární rovnice, asi by se měla řešit variací konstant

Ignatius · 31. 05. 2010 09:41

↑ jendula11:
A bylo by zde možné přiložit postup s řešením, protože v tomto jsem opravdu neznaboh. Díky

Rumburak · 31. 05. 2010 10:01

↑ Ignatius:
Zde vystačíme i se separací proměnných:
$\frac {\text{d} v}{A \,-\, Bv^2} \,=\, \text{d} t$ ,
$\int \frac {\text{d} v}{A \,-\, Bv^2} \,=\, \int \text{d} t$ .

Ignatius · 31. 05. 2010 10:12

↑ Rumburak:
k tomuto postupu jsem se dostal také, ale nevím jak postupovat dále, obyčejnou substitucí příklad nevyřeším :(

jendula11 · 31. 05. 2010 10:22

↑ Ignatius:
Použil bych substituci v=odmocnina(a/b)*sin(t).
To by mělo jít

Rumburak

↑ Ignatius:

Předpokládejme, že $A\,\ne \,0 \,\ne\, B$ , ostatní případy jsou, doufám, od začátku zřejmé.

V závislosti na hodnotě s = sgn (A/B) pak integrál $\int \frac {\text{d} v}{A \,-\, Bv^2}$ vyjádříme (po alg. úpravě a snadné substituci)
pomocí některého z integrálů

$\int \frac {\text{d} u}{1 \,+ \,u^2}\, = \,\text{arctg}\,u \,+\,C$ (případ s < 0 ),

$\int \frac {\text{d} u}{1 \,- \,u^2}\, = \,\text{argtgh}\,u \,+\,C$ pro -1 < u < 1 (případ s > 0 ) .

Ten poslední integrál umíme spočítat také rozkladem na parciální zlomky a pak vyjádřit pomocí přiroz. logaritmu.

Tento názor