Matematické Fórum

Pika · 31. 05. 2010 15:36 — Editoval Pika (31. 05. 2010 15:37)

Zdravim,

Mohl by mi nekdo poradit, jak vytvorit z jednoho korenu kvadraticke rovnice celou puvodni rovnici? Koren je v goniometrickem tvaru. Kdyby byl v tom algrebraickem, tak jen prehodim znamenka a mam oba dva koreny, vynasobim (x-x1)*(x-x2) a mam to. Ale takhle kdyz ten koren je v goniometrickem tvaru, a i po prevedeni do algrebraickeho tvaru, s nim moc nenadelame :(

Diky za pomoc ;-)

b.r.o.z1

já bych to řešil jinak,
1. algebraický tvar
2. vyřešil bych jednotlivé možnosti a - d, pakliže mi někde vyjde hledaný kořen jeto ta možnost, nevyjde-li tak zaškrtnout e - je to test

nebo

víš že po převedení do algebraického tvaru je to odmocnina ze 2*i to je první kořen, 2. kořen je - odmocnina ze 2*i

Vietovy vzorce - x2 + px + q = 0
-p = x1 + x2
- p = - odmocnina ze 2 *i + odmocnina ze 2 *i
p = 0

q = x1 * x2
q= odmocnina ze 2*i krat - odmocnina ze 2 * i
q= -2i na druhou

dosadim zpět tzn. x2 -2i na druhou = 0
i2 = -1

x2 +2 = 0 podle mě

Rumburak

↑ Pika:
Především zdůrazním poznatek, který již naznačil kolega ↑ b.r.o.z1: (i když tam má chybu) :
Má-li kvadratická rovnice s REÁLNÝMI koeficienty IMAGINÁRNÍ kořen $r$ , pak druhým jejím kořenem je $\overline{r}$ (neboli číslo komplexně sdružené s $r$ ).
Hledaná kvadr. rovnice má tedy kořeny $r \,=\,\sqrt{2}$\cos\,\frac{5\pi}{4} \,+\,i\,\sin\,\frac{5\pi}{4}$$ , $s\,=\,\overline{r}\,=\,\sqrt{2}$\cos\,\frac{5\pi}{4} \,-\,i\,\sin\,\frac{5\pi}{4}$$ a lze ji hledat ve tvaru
$x^2\,+\,px\,+\,q\,=\,0$ , kde podle Vietových vzorců je
$p \,=\,-(r\,+\,s)\,=\,-2\,\sqrt{2}\,\cos\,\frac{5\pi}{4}\,=\,2\,\sqrt{2}\,\cos\,\frac{\pi}{4}\,=\, 2$ ,
$q\,=\,rs \,=\,r\overline{r}=\,|r|^2\,=\,2$ .

Rumburak

↑ b.r.o.z1:

b.r.o.z1 napsal(a):
...víš že po převedení do algebraického tvaru je to odmocnina ze 2*i to je první kořen, 2. kořen je - odmocnina ze 2*i

... toto je onen omyl

b.r.o.z1 · 31. 05. 2010 16:59

↑ Rumburak:

aha jsem idiot :-) četl jsem 6/4 pí

Pika · 31. 05. 2010 21:49

↑ b.r.o.z1: A jak jsi zjistil, ze kosinus dva * odmocnina z 2 * cosinus pí / 4 je 2? Kdyz si zkratim dvojku, tak dostanou odmocnina z 2 * cosinus pí /2 a vzhledem k tomu, že cosinus pí / 2 je nula, tak p je nula ...

Rumburak

↑ Pika:

Ten dotaz měl být zřejmě směrován na mne, proto se ho ujímám:
Je potřeba vědět, že $\cos\,\frac{\pi}{4}\,=\, \frac {\sqrt 2}{2}$ . Potom $2\,\sqrt{2}\,\cos\,\frac{\pi}{4}\,=2\,\sqrt{2}\,\frac {\sqrt 2}{2}=\, 2$ .

Speciálně musím upozornit, že $\cos\,\frac{\pi}{4}\,\ne\, \frac {1}{2} \,\cos\,\frac{\pi}{2}$ , takže ani nelze krátit tak, jak se domníváš.

Doporučuji prostudovat si látku o goniometrických funkcích :-)