Matematické Fórum

StupidMan · 01. 06. 2010 09:26

Dobry den, potreboval bych poradit stemito priklady.

1. priklad.
jak zjistim jestli je $x^2-2y^2-4x-16y-28=0$ analytickým vyjadrenim hyperboly? a jak nacrtnu mnozinu bodu v rovine, kterou rovnice popisuje?

2. priklad.
hyperbola ma osy v osach souradnic, tecnu o rovnici x-y-3=0 a asymptotu o rovnici x-2y=0. Jak napisu stredovy tvar rovnice hyperboly?

Prosim o pomoc.

Krezz · 01. 06. 2010 09:46

tu rovnici si preved na stredovy tvar rovnice hyperboly a nacrtnes to pomoci znameho stredu a poloos
ohledne druheho prikladu, znas stred, na to nezapominej.

gadgetka

upravením na středový tvar:
$x^2-2y^2-4x-16y-28=0\nlx^2-4x-2y^2-16y-28=0\nl(x-2)^2-4-2(y^2+8y)-28=0\nl(x-2)^2-4-2((y+4)^2-16)-28=0\nl(x-2)^2-2(y+4)^2-4+32-28=0\nl(x-2)^2-2(y+4)^2=0$

Krezz · 01. 06. 2010 10:00 — Editoval Krezz (01. 06. 2010 10:02)

↑ gadgetka:
nema tam byt +32 ?
i wolfram rika ze to asi hyperbola nebude:)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^ … 16y-28%3D0

gadgetka

↑ Krezz:
Má ... :) ... děkuji a edituji

StupidMan · 01. 06. 2010 10:11

to je vsechno a co znamena to analyticky vyjadreni?

Krezz · 01. 06. 2010 10:24

ja bych odkazal na:
www.fpe.zcu.cz/pef/pst/cz/st/sm/kmt/kuzel.doc
protoze je videt ze v tom nemas zrovna jasno. Jinak analyticke vyjadreni je takove, z ktereho lze vycist urcite veci, jako je stred, polosy, polomer apod. aspoň tak sem si to vzdycky myslel. Jinak pokud po tobe nekdo chce vyjadrit kuzelosecku analyticky, tak si staci pamatovat obecne (stredove) rovnice kuzelosecek.

zdenek1 · 01. 06. 2010 10:56

↑ StupidMan:
Analytické vyjádření je vyjádření nějakou rovnicí (např. tou, co máš uvedenou na začátku).
Ještě navážu na ↑ gadgetka:
$(x-2)^2-2(y+4)^2=0$
Měl bys poznat, že toto není hyperbola, protože na pravé straně je $0$ .
Když máš načrtnout příslušnou množinu bodů (a nemáš Wolfram - to u zkoušek nebývá), potřebuješ to ještě upravit
$(x-2)^2=2(y+4)^2$
$|x-2|=\sqrt2|y+4|$
$y+4=\pm\frac{\sqrt2}2(x-2)$
a z toho bys měl poznat, že je to dvojice přímek, protínající se v bodě $[2;-4]$ se směrnicemi $k=\pm\frac{\sqrt2}2$ .

zdenek1 · 01. 06. 2010 13:25

↑ StupidMan:
2)
Hyperbola s osami v osách souřadnic má středovou rovnici
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Asymptota má obecně rovnici $y=\pm\frac bax$ , porovnáním se zadanou asymptotou $x-2y=0\ \Rightarrow\ y=\frac12x$ vidíme, že $\frac ba=\frac12\ \Rightarrow a=2b$ .
Dosazením
$\frac{x^2}{4b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \Rightarrow\ x^2-4y^2-4b^2=0$ .
Přímka $x-y-3=0$ je tečna, proto soustava
musí mít právě jedno řešení.
Dosadíme
$x^2-4(x-3)^2-4b^2=0$ a upravíme
$3x^2-24x+36+4b^2=0$ Diskriminant tého kvadratické rovnice musí být nula
$\frac D4=144-3\cdot4(9+b^2)=0\ \Rightarrow\ b^2=3$ .

Rovnice hyperboly: $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}3=1$

StupidMan · 01. 06. 2010 17:01

ah dekuju za vysvetleni :)

Rumburak

↑ StupidMan:

Když už je zde takto obsáhlejší diskuse o hyperbole, připojím poznámku , která se může někdy hodit.

Jak poznám, že přímka dejme tomu o rovnici

(1) f(x,y) = 0

je asymptotou byperboly o rovnici

(2) h(x,y) = 0 ?

Vzájemná poloha těchto křivek se zjistí vyšetřováním řešitelnosti soustavy (1), (2). Připomeňme si možnosti, které mohou nastat.
Eliminací některé neznámé obdržíme

A. kvadratickou rovnici s diskriminantem D - potom
D > 0 dává sečnu se dvěma průsečíky,
D = 0 tečnu ,
D < 0 přímku, která nemá s hyperbolou žádný společný bod, avšak NENÍ její asymptotou.

B. lineární rovnici - přímka je sečnou, která je rovnoběžná s některou asymptotou a má s hyperbolou jeden průsečík,

C. nesplnitelnou rovnost (vypadne i druhá neznámá, avšak deklarovaná rovnost neplatí) - přímka je asymptotou.

SHRNUTÍ: přímka je asymptotou, právě když soustava (1), (2) nemá řešení reálné ani imaginární. Například hyperbola o rovnici

$\frac {x^2}{a^2}\,-\,\frac {y^2}{b^2}\,=\,1$

má asymptoty o rovnicích

$\frac {x}{a}\,-\,\frac {y}{b}\,=\,0$ , $\frac {x}{a}\,+\,\frac {y}{b}\,=\,0$ .

Tyto rovnice můžeme jejich vynásobením spojit v jedinou rovnici

$\frac {x^2}{a^2}\,-\,\frac {y^2}{b^2}\,=\,0$

společnou oběma asymptotám.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2010 09:26

hyperbola

#2 01. 06. 2010 09:46

Re: hyperbola

#3 01. 06. 2010 09:53 — Editoval gadgetka (01. 06. 2010 10:03)

Re: hyperbola

#4 01. 06. 2010 10:00 — Editoval Krezz (01. 06. 2010 10:02)

Re: hyperbola

#5 01. 06. 2010 10:01 — Editoval gadgetka (01. 06. 2010 10:04)

Re: hyperbola

#6 01. 06. 2010 10:11

Re: hyperbola

#7 01. 06. 2010 10:24

Re: hyperbola

#8 01. 06. 2010 10:56

Re: hyperbola

#9 01. 06. 2010 13:25

Re: hyperbola

#10 01. 06. 2010 17:01

Re: hyperbola

#11 01. 06. 2010 17:42 — Editoval Rumburak (01. 06. 2010 17:44)

Re: hyperbola

Zápatí