Matematické Fórum

Sergej · 26. 03. 2008 10:11

V Petákové na straně 144 jsem narazil na příklad 26 a), který vypadá následovně

${ 8\choose x}={8\choose 5}$
Výsledek je zřejmý na první pohled ale jak se ho získám početně? Když si levou stranu rozepíší získám $\frac{8!}{x!\cdot(8-x)!}$ ale co s tím dál?

jarrro · 26. 03. 2008 14:21

$x=3\vee x=5$ počítaním napr. $\frac{8!}{x!$8-x$!}=\frac{8!}{5!3!}\nl\frac{1}{x!$8-x$!}=\frac{1}{5!3!}\nl5!3!=x!$8-x$!\Rightarrow \left($5!=x!$\wedge 3!=$8-x$!\right)\vee \left($3!=x!$\wedge 5!=$8-x$!\right)$

Marian · 26. 03. 2008 15:45

↑ jarrro:

Souhlasim se vsim, ale posledni implikace mi pripadne netrivialni, i kdyz trivialne vypada. Nevim,jestli to bude vsem jasne uplne. Zkus to nejak zduvodnit.

jarrro · 26. 03. 2008 16:08

vedel som,že ma niekto napomenie (ani mne sa to totiž nezdá triviálne),ale inak neviem ako by sa takéto banálne príklady dali rieši? inak ako "kuknem sa a vidím".

Kondr · 26. 03. 2008 16:37

Věta: pro libovolná nezáporná celá čísla a>=b má rovnice ${a\choose b}={a\choose x}$ pouze řešení x=b a x=a-b, která v případě a=2b splynou.
Důkaz: Že jsou uvedené hodnoty řešeními je zřejmé, jen musíme ukázat, že jiná řešení nejsou.
1) Předpokládejme, že a=2b. Pak pro x různé od b platí ${a\choose x}<{a\choose b}$ , takže x různé od b není řešením.
2) V ostatních případech je posloupnost ${a\choose x}$ pro x od 1 do a/2 rostoucí, hodnotu ${a\choose b}$ na tomto intervalu nabude jen jednou. Pro x od a/2 do a je posloupnost ${a\choose x}$ klesající, i zde může mít zadaná rovnice jen jedno řešení. Proto má rovnice nejvýše dvě řešení a protože umíme dvě řešení najít, je důkaz hotov.

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2008 10:11

Rovnice s kombinačním číslem

#2 26. 03. 2008 14:21

Re: Rovnice s kombinačním číslem

#3 26. 03. 2008 15:45

Re: Rovnice s kombinačním číslem

#4 26. 03. 2008 16:08

Re: Rovnice s kombinačním číslem

#5 26. 03. 2008 16:37

Re: Rovnice s kombinačním číslem

Zápatí