Matematické Fórum

jakkub · 01. 06. 2010 15:41

Ahoj, potřebuji poradit s výpočtem příkladu: znám rovnici přímky: 3x + 5y - 11 = 0 a bod X[4, 9].
A mám napsat obecnou rovnici přímky, která prochází bodem X a se zadanou přímkou svírá úhel 28 stupňů.

Rumburak · 01. 06. 2010 16:08

Pomůže nám uvědomit si, že v obecné rovnici ax + by + c = 0 přímky je (a, b) vektor kolmý k této přímce (tzv. normálový vektor přímky).

jakkub · 01. 06. 2010 17:21

Nepomůže... já ty úlohy, kde je nějaký úhel nechápu a tato informace mi bohužel nepomohla. Spíše bych potřeboval, kdyby někdo mohl napsat postup výpočtu. Z toho myslím, že bych již pochopil jak takovýhle typ příkladu řešit.

gadgetka

Máš zadáno:
$X[x_1;x_2]\nlp:p_1x+p_2y+p_3=0\nl \alpha$

$\vec{n_p}=(p_1;p_2)\nl\vec{s_p}=(-p_2;p_1)$
$\vec{n_q}$ dostaneš otočením $\vec{n_p}$ o úhel $\alpha$

1)
$\vec{n_q^\prime}=\cos \alpha \vec{n_p}+\sin \alpha \vec{s_p}=$n_{q1}^\prime,n_{q2}^\prime$\nln_{q1}^\prime=\cos \alpha \cdot p_1-\sin \alpha \cdot p_2\nln_{q2}^\prime=\cos \alpha \cdot p_2+\sin \alpha \cdot p_1\nlq^\prime: n_{q1}^\prime x+n_{q2}^\prime y+c^\prime=0\nlc^\prime=-$n_{q1}^\prime x_1+n_{q2}^\prime x_2$$

2)
$\vec{n_q^{\prime\prime}}=\cos \alpha \vec{n_p}-\sin \alpha \vec{s_p}=$n_{q1}^{\prime\prime}, n_{q2}^{\prime\prime}$\nln_{q1}^{\prime\prime}=\cos \alpha \cdot p_1+\sin \alpha \cdot p_2\nln_{q2}^{\prime\prime}=\cos \alpha \cdot p_2-\sin \alpha \cdot p_1\nlq^{\prime\prime}: n_{q1}^{\prime\prime} x+n_{q2}^{\prime\prime} y+c^{\prime\prime}=0\nlc^{\prime\prime}=-$n_{q1}^{\prime\prime}x_1+n_{q2}^{\prime\prime} x_2$$

jakkub · 01. 06. 2010 20:37

Moc děkuji za pomoc.
Jen bych ještě poprosil o malé dovysvětlení:
Tohle $\vec{n_{q1}^\prime}$ a $\vec{n_{q2}^\prime}$ je opravdu vektor? Nemá to být jen číslo?
A ještě odkud jsou a1 a a2 v této rovnici: $\nlc^\prime=-$\vec{n_{q1}^\prime}a_1+\vec{n_{q2}^\prime}a_2$$

gadgetka

edituji :)

Děkuji za upozornění :)

Cheop · 02. 06. 2010 08:15 — Editoval Cheop (02. 06. 2010 11:19)

↑ jakkub:
Dá se počítat i takto:
Máme-li 2 přímky ve tvaru:
1) $a_1x+b_1y+c_1=0$
2) $a_2x+b_2y+c_2=0$ pak pro odchylku těchto přímek platí:
3) $\rm{tg}\,\alpha=\frac{|a_1b_2-a_2b_1|}{|a_1a_2+b_1b_2|}$
My máme přímku:
$3x+5y-11=0$
bod $X(4;\,9)$ , kterým prochází druhá přímka a odchylku přímek $\alpha=28^\circ$
Směrový vektor druhé přímky bude mít tvar: $\vec s=(x_0-4;\,y_0-9)$
Normálový vektor pak tvar: $\vec n=(y_0-9;\,4-x_0)$
Hledaná přímka bude mít tvar:
$(y_0-9)x+(4-x_0)y+c_2=0$
Pokud toto dosadíme do rovnice 3) dostaneme:
$\rm{tg}\,28^\circ=\frac{|3(4-x_0)-5(y_0-9)|}{|3(y_0-9)+5(4-x_0)|}$
Řešením jsou 2 přímky (absolutní hodnota)

1) $0,34145x+6,5951y-60,722=0$
2) $5,6585x+3,4049y-53,278=0$

Rumburak

↑ jakkub:

Nebo i takto:
Daná přímka p o rci 3x + 5y - 11 = 0 má normálový vektor (3, 5) ,
Hledaná přímka q o rci

(1) ax + by + c = 0

má normálový vektor (a, b) .

Normálový vektor je kolmý ke své přímce, takže odchylka dvou přímek je rovna odchylce jejich normálových směrů.

Aby tato ochylka byla 28 stupňů, musí platit (podle vzorce pro úhel dvou vektorů)

$\cos \,28^{\circ} = \frac{|(3,5)(a,b)|}{|(3,5)|\cdot |(a,b)|}$ ,

což dává jadnu rovnici pro netnámé a, b. Jako druhou rovnici bude vhodné vzít

|(a,b)| = 1,

čímž se i zjednoduší rovnice předchozí, a soustavu vyřešíme.

Konstantu c pak dopočítáme dosazením bodu X[4, 9], jímž má hledaná přímka procházet, do rovnice (1) .

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2010 15:41

Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#2 01. 06. 2010 16:08

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#3 01. 06. 2010 17:21

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#4 01. 06. 2010 18:05 — Editoval gadgetka (01. 06. 2010 23:00)

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#5 01. 06. 2010 20:37

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#6 01. 06. 2010 22:52 — Editoval gadgetka (01. 06. 2010 23:00)

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#7 02. 06. 2010 08:15 — Editoval Cheop (02. 06. 2010 11:19)

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

#8 02. 06. 2010 09:22 — Editoval Rumburak (02. 06. 2010 09:23)

Re: Analytika - přímka daná bodem a úhlem k jiné přímce

Zápatí