Matematické Fórum

rhinocort · 05. 12. 2009 17:28

Mám problém so spočítaním integrálu: [ Ln(x)*arctg(x) dx ] ... integruje sa od nuly po jednotku

... viem, že by sa to malo dať spočítať tak, že sa buď Ln(x) , alebo arctg(x) rozpíše ako súčet nekonečnej rady a potom z vety o zámene Lebesgueovho integrálu a rady by sa malo dospieť k výsledku ... skúšal som to, no neviem sa dopracovať k ničomu rozumnému ... vedel by mi prosím niekto poradiť ?

Marian · 02. 06. 2010 14:19 — Editoval Marian (02. 06. 2010 14:22)

↑ rhinocort:

Je to sice už starší úloha, ale všimnul jsem si ji až nyní, takže ulehčím místnímu dluhu nevyřešených úloh.

K řešení budu potřebovat expanzi funkce arctan(x) do Maclaurinovy řady, tj. do řady potenční. Jedná se o rozvoj

$\arctan(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1},\qquad x\in [-1,1).$

Protože se jedná o zmiňovanou potenční řadu, budou úvahy jednodušší než u obecných funkčních rozvojů do řady. Záměna integrálu a sumace zde bez problémů projde. Budeme mít celkem toto

Nyní stačí poslední nekonečnou řadu sečíst. Nejprve upravíme sumand pomocí dekompozice na parciální zlpomky. Potom je

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cdot\frac{1}{(2k+2)^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\cdot\left (\frac{-\frac{1}{2}}{k+1}+\frac{1}{2k+1}-\frac{\frac{1}{4}}{(k+1)^2}\right ).$

Tuto nekonečnou řadu je možno rozložit na tři dílčí alternující nekonečné řady dle dekompozice na parciální zlomky (všechny totiž budou konvergovat podle Leibnizova kritéria), tj. s ohledem na výpočet výše

Poslední tři nekonečné součty jsou ale notoricky známé, neboť platí (označím je postupně zleva doprava $\sigma _1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ )

$\sigma_1=\ln (2),\qquad\sigma_2=\frac{\pi}{4},\qquad\sigma_3=\frac{\pi ^2}{12}.$

U součtu $\sigma _3$ podotýkám vazbu na Dirichletovu eta-funkci $\eta (z)$ , popř. na Riemannovu zeta-funkci $\zeta (z)$ .

Konečně pro předložený integrál musí platit identita

$\boxed{I=\frac{1}{2}\ln (2)-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi ^2}{48}.}$

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2009 17:28

Zámena Lebesgueovho integrálu a rady

#2 02. 06. 2010 14:19 — Editoval Marian (02. 06. 2010 14:22)

Re: Zámena Lebesgueovho integrálu a rady

Zápatí