Matematické Fórum

Fhact0r

Dané jsou tři přirozená čísla a, b, c. Dokažte, že pokud pro každé přirozené číslo n lze sestrojit trojúhelník se stranami $a^n$ , $b^n$ , $c^n$ , tak všechny tyto trojúhelníky budou rovnoramenné.

Nerozumim, pokud n=1, a=2, b=3, c=4, tak trojuhelnik sestrojit lze ikdyz neni rovnoramenny. Asi neco nechapu.

Pavel Brožek · 02. 06. 2010 18:24

Ale pro $n=2$ trojúhelník se stranami 4, 9 a 16 už nesestrojíš. Je tam podstatné to "pro každé". Ty si $n$ nevybíráš. $n$ si vybírá nepřítel.

Fhact0r · 02. 06. 2010 19:11

Tedy mi staci dokazat, ze lze pro jakekoliv prirozene a, b, n sestrojit rovnoramenny trojuhelnik se stranami $b^n$ , $a^n$ , $a^n$ ?

Pavel Brožek · 02. 06. 2010 19:25

↑ Fhact0r:

To určině ne. Vždyť třeba pro a=1, n=1, b=5 by nešel sestrojit, tvé tvrzení jsem tedy vyvrátil.

Ty máš dokazovat následující (pouze převyprávím zadání, které jsi napsal): Někdo zadá tři přirozená čísla: a, b a c. Chceme dokázat, že pokud si můžu volit přirozené číslo n jakkoli a pro každé n, které si zvolím půjde sestrojit trojúhelník se stranami $a^n$ , $b^n$ a $c^n$ , pak jsou si minimálně dvě čísla z čísel a, b a c rovna.

Fhact0r · 02. 06. 2010 20:30

↑ BrozekP:
Nedovedu s tim nijak hnout, moh bys (nebo i nekdo jiny) mi nejak poradit? Diky.

cabek · 02. 06. 2010 23:16

musí tento důkaz být nutně pravdivý? pokud by měl být výsledný trojúhelník rovnoramenný, tak se vždy 2 ze 3 zadaných čísel (a,b,c) musí rovnat ještě před umocněním na n-tou, nelze přece $a^n=b^n$ jestliže $a\neq b$ (a,b,n - přirozená č.)

Pavel Brožek · 02. 06. 2010 23:38

↑ cabek:

Ano, pokud má být rovnoramenný, tak se dvě z čísel a, b a c budou rovnat. To ale přeci ničemu nevadí. Máme dokazovat "pokud pro všechna n něco platí, pak ...". Pro nerovnoramenné trojúhelníky prostě to "něco" platit nebude a implikace bude i pro ně pravdivá.

Pavel · 03. 06. 2010 11:38 — Editoval Pavel (03. 06. 2010 11:39)

Nechť $a,b,c>0$ označují délky stran trojúhelníka takové, že pro každé přirozené číslo n lze sestrojit trojúhelník se stranami $a^n$ , $b^n$ , $c^n$ . Předpokládejme dále, že $a\neq b\neq c\neq a$ . Bez újmy na obecnosti položme $a<b<c$ . Z uvedeného předpokladu musí pro každé přirozené n platit tzv. trojúhelníková nerovnost

$\Large a^n+b^n>c^n\nl \left(\frac ac\right)^n+\left(\frac bc\right)^n>1$ .

Jenže zlomky $\frac ac$ , $\frac bc$ jsou kladné a menší než 1. Proto platí

$\Large \lim_{n\to\infty}\left(\frac ac\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac bc\right)^n=0.$

Tzn. $\Large \exists n_0\in\mathbb{N}\,:\,\forall n\geq n_0\,:\,\left(\frac ac\right)^n<\,\frac 12\ \wedge\ \left(\frac bc\right)^n<\,\frac 12$ .

Pro všechna taková $n$ vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti spor

$\Large 1<\left(\frac ac\right)^n+\left(\frac bc\right)^n<\frac 12+\frac 12=1$ .

Předpoklad, že všechny tři strany jsou různé, tedy neplatí. Musí platit, že alespoň dvě strany v trojúhleníku mají stejnou velikost, a tedy trojúhelník je rovnoramenný.

Fhact0r · 03. 06. 2010 14:35

↑ Pavel:
Zapisy limitu jsme jeste nebrali, ale zkusim si to domyslet.

$\Large \lim_{n\to\infty}\left(\frac ac\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac bc\right)^n=0.$
Hodnoty ${(\frac {a}{c})}^n$ a ${(\frac {b}{c})}^n$ se pri $n$ blizicimu se k $\infty$ rovnaji nule.

$\Large \exists n_0\in\mathbb{N}\,:\,\forall n\geq n_0\,:\,\left(\frac ac\right)^n<\,\frac 12\ \wedge\ \left(\frac bc\right)^n<\,\frac 12$
proto pro dostatecne velke hodnoty $n$ , plati ${(\frac {a}{c})}^n<\frac {1}{2}$ a ${(\frac {b}{c})}^n<\frac 12$

a proto nastava v trojuhelnikove nerovnosti spor
$\Large1<\left(\frac ac\right)^n+\left(\frac bc\right)^n<\frac 12+\frac 12=1$

pochopil sem to spravne? dik moc za pomoc.