Matematické Fórum

↑ evissska:

Trocha mi z toho vyplýva logický spor. My sme si zadefinovali otvorenú množinu tak, ako poznamenal ↑ kompik:. Potom sme nijako uzavretú množinu nedefinovali, len sme vyslovili, že množina je uzavretá, ak jej doplnok je otvorená. Teda ak máme prázdnu množinu, tak jej doplnok v R^n je R^n. To znamená, že jedna z množín musí byť otvorená a druhá uzavretá. V žiadnom prípade teda nie obe otvorené, alebo obe uzavreté.

Definujeme prázdnu množinu ako otvorenú. R^n je uzavretá množina. Existuje veta, že množina je uzavretá, ak obsahuje všetky limity konvergentných postupností. Ak označíme člen postupnosti a jej limitu, potom pre uzavretú množinu A



Toto je pre R^n splnené.

lukaszh napsal(a):

↑ evissska:

Trocha mi z toho vyplýva logický spor. My sme si zadefinovali otvorenú množinu tak, ako poznamenal ↑ kompik:. Potom sme nijako uzavretú množinu nedefinovali, len sme vyslovili, že množina je uzavretá, ak jej doplnok je otvorená. Teda ak máme prázdnu množinu, tak jej doplnok v R^n je R^n. To znamená, že jedna z množín musí byť otvorená a druhá uzavretá. V žiadnom prípade teda nie obe otvorené, alebo obe uzavreté.

POZOR!
Treba si uvedomiť, že v topologickom priestore môže byť množina súčasne uzavretá aj otvorená (v R^n sú však iba 2 také množiny -- presne tie, o ktorých je reč v úlohe).

Toto je častá chyba, ktorú robia študenti pri úvode do topológie.
Neviem, od koho ten výrok pochádza ale:
"Topologické priestory nie sú dvere."
(Teda môžu byť uzavreté aj otvorené.)

↑ Marian:

Tak je pravda, že v topológii neveľmi plávam, a toto som skutočne ešte nepočul. Ďakujem za odkaz, prečítam si.