Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 06. 2010 18:17

graviton
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
Web
 

exponenciální rovnice..4tý typ

prostě si nemožu zaboha vzpomenout jak s toho ven..
$2^x-3^x=-19$
dyž to podělím $3^x$ tak si nepomožu bo zůstane u $-19$
je mi jasný že výsledek má být 3 ale jak se k tomu dostanu? (komplexních čísel -> logaritmů ze záporných čísel se nebojím :) )


(: SMILE :)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) graviton)

#2 01. 06. 2010 18:25

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

Tohle asi nepůjde analyticky vyřešit jinak než kořen uhádnout a dokázat, že neexistuje jiný.

Offline

 

#3 01. 06. 2010 18:29

graviton
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
Web
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

vážně? ani kdyby se to nějak rozepsalo do řad? (v těch se zatím nevyznám ale v nejbližší době se na ně chystám :) )


(: SMILE :)

Offline

 

#4 01. 06. 2010 19:34

graviton
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
Web
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

aléé :-D
už sem si vzpomněl..
$ 2^x - 3^x = -19 \nl 2^x - 3^x = 27 - 8 \nl 2^x - 3^x = 2^3 - 3^3 \nl 2^x - 3^x - 2^3 + 3^3 = 0 \nl (2^x - 2^3) + (3^3 - 3^x) = 0$
teď řekněme že obě závorky budou rovny třeba nule :)
$(2^x - 2^3) = 0 \nl (3^3 - 3^x) = 0$
a řešíme každou zvlášť a dyž nám výjdou obě tak máme alespoň jeden kořen
$2^x = 2^3 \:\:\:\:\: |\log _{2} \nl x=3$
$3^x = 3^3 \:\:\:\:\: |\log _{3} \nl x=3$

a jak by se dokázalo že je jediný?


(: SMILE :)

Offline

 

#5 03. 06. 2010 13:47

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

Zkus si to nakreslit. Než s tím začneš, tak si to přehoď:

$3^x - 2^x = 19$

To ti tedy říká, že hledáš takové x, kdy rozdíl funkčních hodnot těchto dvou funkcí je roven 19. Už jsi ho našel a chceš vědět, že je jediné.

Dalo by se to odhadnout z toho, že ta první funkce roste mnohem rychleji než ta druhá. Pokud tedy tušíme, že by mohl být jediný, můžeme se přesunout k důkazu.

Abys mohl tvrdit, že to x existuje jen jediné, tak to můžeš udělat třeba tak, že ukážeš, že funkce $f(x) = 3^x - 2^x$ je ryze monotónní (nebo alespoň na určitých intervalech). Potom bude i prostá, takže pro každé číslo z H(f) [třeba A] najdeš právě jedno x, které splňuje $f(x) = A$.

A ryzí monotonie se ukáže celkem snadno.

Offline

 

#6 03. 06. 2010 14:38 — Editoval Krezz (03. 06. 2010 14:45)

Krezz
Příspěvky: 232
Škola: VŠE FFU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

↑ graviton:
27-8 je 19 ne -19, musel bys to vynasobit prvni -1 az potom by to davalo smysl :) Navic ja bych to ani nedelal, proc?
$ 2^x-3^x=-19\nl 2^x-3^x=8-27\nl 2^x-3^x=2^3-3^3\nl $
tady uz je zhrejme cemu se asi x bude rovnat, mame totiz levou i pravou stranu naprosto stejnou, na levo jsou v exponentu x a vpravo jsou to jen trojky, zda je to jedine reseni uz vysvetlil kolega. S tim nakresem je to opravdu docela jasne, navic pokud si nakreslis primku ktera protina exponencialcni fci a tato primka je rovnobezna s osou x tak je to jasny ze bude pouze jedno.

Offline

 

#7 04. 06. 2010 05:48 — Editoval Honzc (04. 06. 2010 09:14)

Honzc
Příspěvky: 4338
Reputace:   234 
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

↑ Krezz:
"navic pokud si nakreslis primku ktera protina exponencialcni fci a tato primka je rovnobezna s osou x tak je to jasny ze bude pouze jedno"
ovšem to není pravda, přímka musí být rovnoběžná s osou y.
To, že řešení je jedno se dá ukázat i takto:
Když si představíme grafy funkcí y=3^x a y=2^x, tak je zřejmé, že:
a) oba procházejí bodem [0,1]
b) pro x>0 roste y=3^x rychleji, než y=2^x
c) děláme-li nyní rovnoběžky s osou y v nějakém bodě x (X>0), je zřejmé, že existuje pouze
    jediné x, ve kterém je rozdíl funkčních hodnot (délka úsečky) roven nějakému číslu, u nás
    číslu 19

Offline

 

#8 14. 06. 2010 22:04

graviton
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
Web
 

Re: exponenciální rovnice..4tý typ

děkuji  za osvětlení :)


(: SMILE :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson