Matematické Fórum

XOR · 03. 06. 2010 20:55

Zdravím,
prosím o pomoc s těmito třemi úlohami z geometrie do školy:

1. Určete poloměr kruhu vepsaného do čtvrtkruhu o poloměru jedna (výsledek: $\sqrt2 - 1$ )

2. Nad úsečkou AB je sestrojena půlkružnice k a té je opsán obdélník ABCD. Jaký je poměr úseček, které na úhlopříčce AC určuje prùsečík s pùlkružnicí k? (výsledek má být 4:1)

a poslední mám:
3. Bod E je středem strany CD čtverce ABCD se stranou a. Bod F je prùsečíkem úhlopříčky BD s příčkou AE. Spočtěte délku úsečky AF.
(výsledek: $\frac{\sqrt 5 a}{3}$ )

Předem mockrát děkuji za jakoukoli myšlenku nápomocnou k řešení.

BakyX · 03. 06. 2010 21:59 — Editoval BakyX (04. 06. 2010 00:27)

1. Polomer malého kruhu označme "x". Vzdialenosť kružnice od stredu štvrťkruhu ku kruhu vpisanom označme "y".

Platí:

$r=2x+y$
$y=r-2x$

Načrtneme 2 kolmé polomery kruhu vpísaného. Spolu z častou ramien štvrťkruhu tvorí štvorec pre ktorého uhlopriečku platí:

$u=x+y$
$x\sqrt{2}=x+r-2x$
$x\sqrt{2}+x=r$
$x(\sqrt{2}+1)=r$
$x=\frac{r}{\sqrt{2}+1}$
$x=r(\sqrt{2}-1)$

Za "r" dosadíš 1 a máš výsledok

gadgetka · 03. 06. 2010 22:03

1)
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=20228

BakyX · 03. 06. 2010 22:19 — Editoval BakyX (04. 06. 2010 00:26)

2)

Strany daného obdĺžnika sú:

Dlhšia: 2a
Kratšia: a

Priesečník uhlopriečky AC s polkruhom označme X. AX=x, CX=y, BX=z. Platia tieto vzťahy:

$x+y=a\sqrt{5}$
$x^2+z^2=(2a)^2$
$y^2+z^2=a^2$

Dúfam, že pokračovať netreba. Z toho ide v pohode bez wolfrámu vyjadriť pomer. Dokonca aj s ním :D http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … +x%2Fy%3DS

Návod na riešenie sústavy:

Z prvej rovnice si vyjadríš "x". Z druhej a tretej "z". Výrazy, ktoré sa rovnajú "z" dáš do rovnosti, čím sa zbavíš "z". Teraz dosadíš za "x" hodnotu, ktoru vyjadriš z prvej rovnice. Po upravach vyjadríš "y". To dosadíš do výrazu vyjadreného z prvej rovnice a dáš do pomeru.

Cheop · 04. 06. 2010 10:56 — Editoval Cheop (04. 06. 2010 13:10)

↑ XOR:
3)
Bez újmy na obecnosti zvolme stranu čtverce $a=1$
Pokud čtverec umístíme do souřadného systému a bod A čtverce bude v počátku souřadnic, pak jednotlivé body budou mít souřadnice:
$A(0;\,0)\nlB(1;\,0)\nlC(1;\,1)\nlD(0;\,1)\nlE\left(\frac 12;\,1\right)\nlF(x;\,y)$
1) Určíme rovnice přímek AE a BD
2) Vypočítáme průsečík těchto přímek (budou to souřadnice bodu F)
3) Vypočítáme vzdálenost bodu A a F (to máme určit)
Směrový vektor AE $\vec s_{\tiny AE}\left(\frac 12\,;\quad 1\right)$
Normálový vektor přímky AE je $\vec n_{\tiny AE}\left(1\,;\quad -\frac 12\right)$
Rovnice přímky AE:
$x-\frac y2+c=0$ - dosazením bodu A dopočítáme c $c=0$
a) $\huge 2x-y=0$
Směrový vektor BD $\vec s_{\tiny BD}(1\,;\quad -1)$
Normálový vektor $\vec n_{\tiny BD}(1\,;\quad 1)$
Rovnice přímky BD
$x+y+c=0$ dosazením bodu B dopočteme c
$1+0+c=0\nlc=-1$
b) $\huge x+y-1=0$
Určíme průsečík přímek (bod F)

$2x-y=0\nlx+y-1=0\nl3x=1\nlx=\frac 13\nly=1-x\nly=1-\frac 13\nly=\frac 23$
Bod F má souřadnice: $\huge F\left(\frac 13\,;\quad\frac 23\right)$
Určíme vzdálenost AF
$d=\sqrt{\left(\frac 13-0\right)^2+\left(\frac 23-0\right)^2}\nld=\sqrt{\frac 19+\frac 49}\nld=\frac{\sqrt5}{3}$
Vzdálenost AF je:
$AF=\frac{\sqrt5}{3}$
Zobecněno pro stranu čtverce a
$\Huge AF=\frac{\sqrt5\,a}{3}$

Chrpa · 05. 06. 2010 13:04 — Editoval Chrpa (05. 06. 2010 13:07)

↑ XOR:
3)

Podle obrázku platí:
1) $\rm{tg}\,\alpha_1=\frac 12$
2) $\alpha_2=90-\alpha_1$
3) $\beta=45^\circ$ - úhlopříčka čtverce
4) $\delta=180-\alpha_2-\beta\nl\delta=180-90-45+\alpha_1\nl\delta=\alpha_1+45$
$\rm{tg}\,\alpha_1=\frac{\sin\,\alpha_1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha_1}}\nl\frac 14=\frac{\sin^2\alpha_1}{1-\sin^2\alpha_1}\nl5\sin^2\alpha_1=1\nl\sin\,\alpha_1=\frac{1}{\sqrt5}$
$\cos\,\alpha_1=\sqrt{1-\sin^2\alpha_1}\nl\cos\,\alpha_1=\sqrt{1-\frac 15}\nl\cos\,\alpha_1=\frac{2}{\sqrt5}$
$\sin\,\delta=\sin(\alpha_1+45)\nl\sin\,\delta=\sin\,\alpha_1\,\cos\,45+\cos\,\alpha_1\,\sin\,45\nl\sin\,\delta=\frac{1}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\nl\sin\,\delta=\frac{3\,\sqrt2}{2\,\sqrt5}$
Ze sinové věty platí:
$\frac{\sin\,\delta}{1}=\frac{\sin\,\beta}{x}\nlx=\frac{\sin\,\beta}{\sin\,\delta}\nlx=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{3\sqrt2}{2\sqrt5}}\nlx=\frac{\sqrt5}{3}$

Vzdálenost AF je $\huge x=\frac{\sqrt5}{3}$ pro $a=1$