Matematické Fórum

Ginco · 02. 06. 2010 22:19 — Editoval Ginco (02. 06. 2010 22:21)

Ahoj všem, prosím potřeboval bych malinko poradit

Mám matici

určete matici $e^{AT}$

Mohl by mi někdo poradit? díky moc

kompik · 03. 06. 2010 10:09 — Editoval kompik (04. 06. 2010 10:12)

Ginco napsal(a):
Ahoj všem, prosím potřeboval bych malinko poradit

Mám matici

určete matici $e^{AT}$

Mohl by mi někdo poradit? díky moc

$\alpha$ a $\beta$ su lubovolne, ci su na ne nejake podmienky?

Anyway, ja som skusil toto, snad ma niekto opravi, ak je tam chyba.
Uzitocny link: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_of_a_matrix

Skusil som upravu:
$A=B+C=\begin{pmatrix}0&0\nl-\alpha^2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\nl0&-2\beta\alpha\end{pmatrix}$
a pozrel som sa na mocniny matic, ktore som tam dostal.
Plati $B^2=0$ .
Ak oznacim $c=-2\beta\alpha$ , tak mi vyjdu taketo mocniny matice C:
$C=\begin{pmatrix}0&1\nl0&c\end{pmatrix}$
$C^2=\begin{pmatrix}0&c\nl0&c^2\end{pmatrix}$
$C^3=\begin{pmatrix}0&c^2\nl0&c^3\end{pmatrix}$
Vseobecne $C^k=\begin{pmatrix}0&c^{k-1}\nl0&c^k\end{pmatrix}=c^{k-1}C$

Potom dostanem
$e^{At} = It+Bt + It + C(t+\frac{ct^2}{2!}+\frac{c^2t^3}{3!}+\dots= \begin{pmatrix}2t&0\nl-\alpha^2t&t\end{pmatrix} + C\frac{e^{ct}-1}c$ .

Ine moznosti, ako by sa to dalo skusat riesit: cez Jordanov tvar.

Ako ciastocna skuska spravnosti (ja som ju nerobil) by sa dalo vyskusat, ci vysledok splna sustavu diferencialnych rovnic s maticou A.