Matematické Fórum

HoracVR · 04. 06. 2010 14:23

Řeším potíž. Představme si dvě trubky, o proměnném průměru.
- Tyto dvě trubky mají každá jiný průměr, nebo mohou mít průměr stejný.
- Trubky mají určitou sílu stěny ale to není podstatné, proto lze uvažovat o válci.
- Jedna z těchto trubek proniká do trubky další a úhel průniku je proměnný.

- Tedy proměnné průměry trubek, různost průměrů trubek, proměnné úhly průniku.
- Trubky ale mají stejnou dělící rovinu, tedy nejsou vzájemně odsazené ani pootečené.

Potřebuji vyřešit matematické vzorce pro další aplikaci G kódu CNC stroje

Je někdo kdo ví???

Karel

Rumburak · 04. 06. 2010 14:42

Chápu to tak, že válcová trubka o průměru r <= R vyúsťuje do druhé válcové trubky o průměru R, osy trubek se protínají
pod úhlem alfa a máme odvodit vzorec pro jakousi funkci f(r, R, alfa). Ale nebylo uvedeno, co ta funkce představuje.

HoracVR · 04. 06. 2010 17:11

Ano je to tak jak píšete. Omlouvám se že nejsem schopný mluvit v matematickém jazyce na patřičné úrovni. Proto popíšu cíl. Pracuji na koncepci stroje, který bude vyřezávat průnikové otvory do plechových trubek. A právě ty průniky se řeší. Tedy, obě trubky, pronikající a ta do které se proniká musejí být seříznuté aby se dotýkali = lícovali. Tedy vytvořili funkční spojení. A ty matematické vztahy řeším. Tedy po jaké trajektorii se má stroj vlastně pohybovat.

Rumburak · 04. 06. 2010 17:17

↑ HoracVR:
Takže jde asi o to vyšetřit prostorovou křivku, která je průnikem oněch válcových ploch. Zapřemýšlím o tom během weekendu.

Rumburak

Máme tedy širokou rouru (SR) a úzkou rouru (UR) - obě válcové o poloměrech R, r , kde $R \,\ge\, r \,>\, 0$ . UR vyusťuje do SR tak,
že osy obou se protínají pod úhlem $\alpha \,\in\,(0, \,\frac{1}{2}\pi]$ , a my chceme vyšetřit prostorovou křivku $m$ danou průnikem obou ploch.

Z praktického hlediska jsou to vlastně úlohy dvě:
1) jaký otvor je nutno "vydlabat" do SR ?
2) Jak nutno upravit zakončení UR ?

Nechci zatěžovat text podrobnými výpočty, uvedu jen to nejdůležitější.

Hledaná prostorová křiivka bude jakousi symetricky deformovanou elipsou. Abychom našli její vyjádření ve tvaru co nejjednodušším,
umístíme situaci do souřadnicové soustavy Pxyz následujícím způsobem:

I. Rovnice plochy SR : $(x+R)^2 \,+\, y^2 \,=\, R^2$ ,
vyjádření v parametrickém tvaru:

(1) $x \,=\,-R(1\,-\,\cos\,t)$ , $y \,=\,R\,\sin\,t$ , $t\,\in\,(-\pi,\,\pi]$ , $z\,\in\,(-\infty,\,+\infty)$ .

(Osou válcové plochy SR je přímka o par. rovnicích x = -R, y = 0, z = t , tedy přímka ležící v rovině "xz" a procházející bodem [-R, 0 , 0] ,
zároveň rovnoběžná se souřadnicovou osou "z". )

II. Rovnice plochy UR :

(2) $(x\,\cos\,\alpha \,-\,z\,\sin\,\alpha)^2\,=\,r^2\,-\,y^2$ , $x\,\ge\,0$ .

(Osou válcové plochy UR je přímka o par. rovnicích $x\, = \, t \,\sin \,\alpha$ , $y \,=\, 0$ , $z\, = \, t \,\cos \,\alpha$ , tedy přímka ležící v rovině "xz"
a procházející body $[\sin \,\alpha, \,0,\,\cos\,\alpha,]$ , P= [0, 0, 0] (v němž protíná plochu SR), takže svírá s osou plochy SR úhel $\alpha$ .)

III. Křivka $m$ jakožto podmnožina plochy SR bude mít parametrický popis

$x \,=\,-R(1\,-\,\cos\,t)$ ,
$y \,=\,R\,\sin\,t$ ,
$z\,=\,-R(1\,-\,\cos\,t)\,\cot\,\alpha \,\pm\,\frac{\sqrt{r^2\,-\,R^2\sin^2 t}}{\sin\, \alpha}$ ,

kde $t\,\in\,[-\arcsin \frac{r}{R}\,, \,\,\arcsin \frac{r}{R}]$ .

IV. Jestliže situaci otočíme okolo osy "y" tak, aby osa UR splývala s "kladnou" částí osy "x" ,
pak v této poloze bude mít křivka $m$ parametrické rovnice

$x \,=\,-\frac{R(1\,-\,\cos\,t)}{\sin\,\alpha}\,\pm\, \sqrt{r^2\,-\,R^2\sin^2 t} \,\cot\,\alpha$ ,
$y \,=\,R\,\sin\,t$ ,
$z \,=\,\pm \sqrt{r^2\,-\,R^2\sin^2 t}$ ,

kde opět $t\,\in\,[-\arcsin \frac{r}{R}\,, \,\,\arcsin \frac{r}{R}]$ .

Ještě několik poznámek:

1. Nahradíme-li ve vzorcích znaménko $\pm$ znaménkem $+$ resp. $-$ , dostaneme "horní" resp. "dolní" oblouk křivky.

2. Výrazů cos t , sin t se v III. i IV. můžeme zbavit zavedením nového parametru $s = \sin \,t\,\in\,[-\frac{r}{R}\,, \,\,\frac{r}{R}]$ ,
zároveň pak bude $\cos\,t\,=\,\sqrt{1-s^2}$ .

3. I když jsem to po sobě celkem pečlivě přepočítával, možnost nějaké chyby přece jen nevylučuji. Před uvedením do ostrého provozu
doporučuji ještě ověřit experimentálně. :-)

4. Bude-li možno tyto vztahy nějak prakticky využít, to opravdu netuším. :-)

HoracVR · 18. 06. 2010 00:31

↑ Rumburak:
To vypadá dobře, děkuji. Jsou prostě i lidé co mají v hlavě mozek :-).

Dám zprávu po napsání SW...

:-)

Honzc · 18. 06. 2010 09:43 — Editoval Honzc (12. 07. 2010 09:46)

↑ Rumburak:
To je skvělé:
Já jsem to ověřil (pouze opticky) - viz obrázek níže.
Jsou vykresleny 2 válce protínající se pod 45 st. s poloměry R/r=2 a také ta výsledná křivka.
Když se podívám na průsečnici vyjádřenou z Tvých vzorců, vypadá to, že to na sobě sedí.

Jak vidno vychází to i pro alfa=90 st.

Rumburak · 18. 06. 2010 10:06

↑ Honzc:
Tak to mne těší, díky za podporu. :-)

↑ HoracVR:
Hlavně aby výpočet pomohl.

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2010 14:23

Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#2 04. 06. 2010 14:42

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#3 04. 06. 2010 17:11

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#4 04. 06. 2010 17:17

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#5 07. 06. 2010 11:19 — Editoval Rumburak (07. 06. 2010 11:24)

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#6 18. 06. 2010 00:31

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#7 18. 06. 2010 09:43 — Editoval Honzc (12. 07. 2010 09:46)

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

#8 18. 06. 2010 10:06

Re: Průnik dvou válců - trubek a matematická definice okrajů niveau

Zápatí