#1 04. 06. 2010 15:34
Integrál s aritmetickou funkcí
Vypočtěte (v uzavřeném tvaru) limitu posloupnosti
kde 
značí zlomkovou část čísla 
.
Offline
#2 04. 06. 2010 16:16 — Editoval lukaszh (04. 06. 2010 20:19)
Re: Integrál s aritmetickou funkcí
Velice sa hanbím za tento produkt, ak ma máš rád, tak to nečítaj :-)
"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel
Offline
#3 04. 06. 2010 16:30 — Editoval Marian (04. 06. 2010 17:27)
Re: Integrál s aritmetickou funkcí
↑ lukaszh:
Mělo by se to asi upřesnit, je to skutečně vágní a skoky jsou obrovské.
Myslím si, že umění dobrého matematika je umět zpracovat a vysvětlit i komplikovanější matematické problémy zcela jasně a umět pohotově argumentovat. Neochuzuj se o to a chtěj přesně vědět, co se v hrnci vaří.
Uvedu ještě drobný příklad ...
Někdo může umět dobře diferenciální počet, ale pokud nepochopil teorii Dedekindových řezů nebo Cantorovu teorii fundamentálních posloupností, není to matematik a hodně teorie nemá potom pevné základy. Je to falešný pocit "Umím matematiku!", ale není to tak.
Raději tedy precizně vysvětlit a rozepsat se (pro ty, kteří považují tuto sekci za místo, kde se to má činit a pracují nebo chtějí pracovat s matematikou na solidní úrovni).
Offline
#5 04. 06. 2010 20:13 — Editoval lukaszh (04. 06. 2010 20:21)
Re: Integrál s aritmetickou funkcí
![$\varphi(x)=x\cdot\sin(1/x)\nlI_n=[n,n+1]$](/mathtex/83/8343278efa979c7ecfa93a69c9058507.gif "kopírovat do textarea")
![$\forall x\in[n,n+1]\,:\;\sin(1/x)\,<\,1/x\;\Rightarrow\;\frac{\sin(1/x)}{1/x}\,<\,1$](/mathtex/dc/dce536ec7decc4d4cc56428df0844338.gif "kopírovat do textarea")
(vec dohody), tak platí aj dolný odhad![$0\,<\,\frac{\sin(1/x)}{1/x}\,<\,1\,;\;x\in[n,n+1]$](/mathtex/0a/0ab6a80cd9eba7e1daf586aa39b40c75.gif "kopírovat do textarea")
, stačí pozorovať asymptotické vlastnosti výrazu. Keďže funkcia 
je spojitá na ľubovoľnom intervale 
, platia ohraničenia![$\alpha:=\min_{x\in[n,n+1]}\varphi(x)\,<\,\varphi(x)\,<\,\max_{x\in[n,n+1]}\varphi(x):=\beta$](/mathtex/ec/eca070a377b71306f77fdadbc8ba24dc.gif "kopírovat do textarea")
![$\alpha\cdot\(n+\frac{1}{2}\)=\int_{n}^{n+1}x\cdot\alpha\,\mathrm{d}x\,<\,\boxed{\int_{n}^{n+1}x^2\cdot\sin(1/x)\,\mathrm{d}x}\,<\,\int_{n}^{n+1}x\cdot\beta\,\mathrm{d}x=\frac{\beta}{2}\cdot[(n+1)^2-n^2]=\beta\cdot\(n+\frac{1}{2}\)$](/mathtex/84/84806d764bff8708c4b113d138c67e77.gif "kopírovat do textarea")
potrebujeme odhadnúť. Odhad zhora nebude náročný. Stačí si uvedomiť, že![$\forall n\in\mathbb{N}\;\forall x\in[n,n+1]\,:\;\varphi(x)\in(0,1)$](/mathtex/bb/bb0593aef3dd6fd7485d8a234e801709.gif "kopírovat do textarea")
je asymptoticky identická funkcia. 
spätne, tak (**)![$\alpha:=\min_{x\in[n,n+1]}\varphi(x)=\varphi(n)\nl\beta:=\max_{x\in[n,n+1]}\varphi(x)=\varphi(n+1)$](/mathtex/57/57b9ab859f06219582c870fe27fafa68.gif "kopírovat do textarea")
![$\lim_{n\to\infty}[\varphi(n)-1]\cdot n+\frac{\varphi(n)}{2}=\lim_{n\to\infty}\zeta(n)+\frac{\varphi(n)}{2}=\frac{1}{2}$](/mathtex/76/768cedc600605293d89cec9ad5de4933.gif "kopírovat do textarea")
je uvedená funkcia 
- zeta monotónna rastúca a nadobúda záporné hodnoty. Zatiaľ to neviem dokázať. Doplním neskôr.
v pravom okolí nuly."The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel
Offline