Matematické Fórum

janca361 · 04. 06. 2010 15:24

Kužely K1, K2 mají stejné objemy. Určete, který z nic má delší stranu, víte-li, že poloměr podstavy kuželu K1 je roven výšce kuželu K2.

Jak na to?

byk7 · 04. 06. 2010 16:04 — Editoval byk7 (05. 06. 2010 08:43)

tou "stranou" se asi myslí poloměr, ne?

$V_K_1=V_K_2 \nl \ \nl r_1=v_2 \nl \ \nl \rm{dosadis\quad do\quad vzorce} \nl \ \nl \frac{1}{3}\pi{r_1}^2v_1=\frac{1}{3}\pi{r_2}^2v_2 \nl \ \nl {r_1}^2v_1={r_2}^2v_2 \nl \ \nl {v_2}^2v_1={r_2}^2v_2 \nl \ \nl v_2v_1={r_2}^2 \nl \ \nl r_2=\sqrt{v_1v_2} \nl \ \nl r_2=\sqrt{r_1v_1}$

teď rozebereme tři případy:
[a]
$v_2=\sqrt{v_1v_2}$
po úpravě:
$v_2=v_1=r_1$
potom:
$r_1=r_2$

[b]
$v_2>\sqrt{v_1v_2}>0$
po úpravě:
$v_2>v_1\,;\,r_1>v_1$
potom:
$r_1>r_2$

[c]
$0<v_2<\sqrt{v_1v_2}$
po úpravě:
$v_2<v_1\,;\,r_1<v_1$
potom:
$r_1<r_2$

Prosím kolegy o kontrolu.

jelena · 04. 06. 2010 16:54

↑ byk7:

Zdravím a děkuji za řešení,

ovšem stranou kužele se rozumí délka ramena rovnoramenného trojuhelníka, který vznikne v řezu kuželu kolmo postavě, označuje se $s$ .

gadgetka

a co takhle?
$(s_1)^2=(v_1)^2+(r_1)^2\nlr_1=v_2\nl(s_1)^2=(v_1)^2+(v_2)^2$

$(s_2)^2=(v_2)^2+(r_2)^2$

$V_1=V_2\nl\frac{1}{3}\pi\cdot (r_1)^2\cdot v_1=\frac{1}{3}\pi\cdot (r_2)^2\cdot v_2\nl\frac{1}{3}\pi\cdot (v_2)^2\cdot v_1=\frac{1}{3}\pi\cdot (r_2)^2\cdot v_2\nlv_2\cdot v_1=(r_2)^2$

$(s_1)^2=(v_1)^2+(v_2)^2\nl (s_2)^2=(v_2)^2+v_2\cdot v_1$

Spybot · 04. 06. 2010 18:57

Zdravim, pises, ze $v_2\cdot v_1=(r_2)^2$ , no potom uz, ze $(s_2)^2=(v_2)^2+(v_2\cdot v_1)^2$ Podla mna z $(s_2)^2=(v_2)^2+(r_2)^2$ vyplyva, ze $(s_2)^2=(v_2)^2+v_1v_2$

gadgetka · 04. 06. 2010 19:13

Děkuji za opravu, sice jsem tvůj příspěvek četla asi 5x, než jsem pochopila, co jsi mi jím chtěl říci :D, ale nakonec mi to došlo. Opraveno.

Spybot · 04. 06. 2010 20:38 — Editoval Spybot (04. 06. 2010 20:39)

Ospravedlnujem sa, trocha som to prekombinoval.

Je tym ale uloha vyriesena? Ved $s_1<s_2$ iba ked $(v_2)^2+(v_1)^2<(v_2)^2+v_2v_1 \Rightarrow v_1<v_2 \Rightarrow v_1<r_1$ . To znamena, ze cielom ulohy bolo len urcit tu podmienku? Alebo nieco prehliadam?

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2010 15:24

Kužely

#2 04. 06. 2010 16:04 — Editoval byk7 (05. 06. 2010 08:43)

Re: Kužely

#3 04. 06. 2010 16:54

Re: Kužely

#4 04. 06. 2010 17:23 — Editoval gadgetka (04. 06. 2010 19:13)

Re: Kužely

#5 04. 06. 2010 18:57

Re: Kužely

#6 04. 06. 2010 19:13

Re: Kužely

#7 04. 06. 2010 20:38 — Editoval Spybot (04. 06. 2010 20:39)

Re: Kužely

Zápatí