Matematické Fórum

kalka · 04. 06. 2010 23:44

Dokažte, že $7^{2n}+n^3-4n+1$ není nikdy dělitelné 3, n náleží do N

princip znám, jen prostě někde dělám určitě triviální chybu, poradíte mi někdo, prosím, děkuji

Kondr · 04. 06. 2010 23:54

Tak napiš svůj postup, ať můžeme najít tu triviální chybu.

Počítat tohle indukcí je dosti radikální řešení. Člen $7^{2n}$ dává zbytek 1, $n^3-4n=n(n-1)(n+1)-3n$ zbytek 0, celý výraz proto dá zbytek 2. Ale rozkaz je rozkaz.

kalka · 05. 06. 2010 00:12

↑ Kondr:
problém se dá přepsat jako 7^2n+n^3-4n+1 se nerovná 3k
základní krok je jasný, pro n=1 se výraz rovná 47 a je tedy nedělitelný 3 beze zbytku :-)

indukční krok pro n=n+1
předpoklad 7^2n+n^3-4n+1 = 3k
7^2(n+1) + (n+1)^3 - 4(n+1) + 1 = 7^2*7^2n + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 4n - 4 + 1 = 49(3k - n^3+4n-1)+ n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 4n - 4 + 1=
= 147k - 48n^3 + 3n^2 + 195n - 51 = 3(49k - 16n^3 + n^2 + 65n - 17) = 3k, ale já měla dokázat, že to neplatí :-(

Kondr · 05. 06. 2010 00:27

On totiž ten indukční předpoklad musí být $7^{2n}+n^3-4n+1 = 3k+2$ -- dokazujeme nejen "nedělitelnost třemi", ale i to, že daný výraz dává zbytek 2. U indukce se často stane, že silnější tvrzení se dokazuje snadněji.

kalka · 05. 06. 2010 00:40

Děkuji, to byl onen fatální nedostatek :-)

ještě bych tu měla jeden příklad, ke kterému nevím, jak přistoupit

Najděte nejmenší přirozené číslo, které má po dělení 30ti zbytek 11 a po dělení 35ti zbytek 16

Kondr · 05. 06. 2010 00:50

Ta druhá informace nám říká, že dává zbytek 1 po dělení 5 (což víme) a zbytek 2 po dělení 7. Hledáme číslo tvaru
x=30k+11=7t+2
Odtud
$30k+11\equiv 2\pmod{7}$
$2k+4\equiv 2\pmod{7}$
$2k\equiv -2\pmod{7}$
$k\equiv -1\pmod{7}$
Nejmenší přirozené k, které tomu vyhoví je 6, nejmenší x je proto 30*6+11.

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2010 23:44

matematická indukce - dělitelnost výrazu

#2 04. 06. 2010 23:54

Re: matematická indukce - dělitelnost výrazu

#3 05. 06. 2010 00:12

Re: matematická indukce - dělitelnost výrazu

#4 05. 06. 2010 00:27

Re: matematická indukce - dělitelnost výrazu

#5 05. 06. 2010 00:40

Re: matematická indukce - dělitelnost výrazu

#6 05. 06. 2010 00:50

Re: matematická indukce - dělitelnost výrazu

Zápatí