Matematické Fórum

tomec · 05. 06. 2010 13:22

Zdravím.
Prosím, jak se postupuje při zjednodušování tohoto výrazu?

$\frac{1}{(n+1)!}-\frac{5}{(n+2)!}-\frac{n^2-9}{(n+3)!}$

byk7 · 05. 06. 2010 13:27

$\frac{1}{(n+1)!}-\frac{5}{(n+2)!}-\frac{n^2-9}{(n+3)!}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{5}{(n+2)!}-\frac{(n-3)(n+3)}{(n+3)!}=\frac{(n+2)}{(n+2)!}-\frac{5}{(n+2)!}-\frac{(n-3)}{(n+2)!}= \nl \ \nl =\frac{(n+2)-5-(n-3)}{(n+2)!}=\frac{n+2-5-n+3}{(n+2)!}=\frac{0}{(n+2)!}=0$

LukasM · 05. 06. 2010 13:31

↑ tomec:
Já jen doplním, že v tom výrazu se nevyskytují kombinační čísla, jak si podle názvu tématu myslíš. Jsou tam akorát faktoriály.

tomec · 05. 06. 2010 13:38 — Editoval tomec (05. 06. 2010 13:39)

↑ byk7:

Díky moc. Jaký vzorce jsou využity? Kromě $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ a krácení
jsou mně ty úpravy neznámé...

...nebo spíše nechápu ten způsob krácení.

LukasM · 05. 06. 2010 21:44

↑ tomec:
Vše co se využívá je definice faktoriálu. Např. mám výraz (n+2)!. To je podle definice součin všech přirozených čísel až do čísla n+2. To znamená, že celý součin vypadá nějak takhle: $(n+2)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots n\cdot (n+1)\cdot (n+2)$ . Můžu to tedy přepsat třeba takhle: $(n+2)!=n!\cdot(n+1)\cdot (n+2)$ . Přesně takové triky se využívají při těch úpravách.

V tom příkladu si třeba byk7 rozepsal (n+3)! jako $(n+2)!\cdot (n+3)$ , a následně tedy mohl zkrátit ten člen (n+3) - mimochodem je to jediné místo kde je použito krácení. V tom prvním zlomku naopak mám jmenovatel (n+1)!, ale chtěl bych tam mít (n+2)!, abych to všechno převedl na společného jmenovatele - proto zlomek rozšířím výrazem (n+2), a ve jmenovateli tu závorku "schovám" do faktoriálu. Všechno je to na stejné kopyto. Stačí si představit jak vypadá celý ten součin, a pak je to jednoduché.

Dává to trochu smysl?

tomec · 06. 06. 2010 15:48

↑ LukasM:

Díky moc. Až teď je mi to jasné. Je to jednoduché.

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2010 13:22

Výraz s kombinačními čísly

#2 05. 06. 2010 13:27

Re: Výraz s kombinačními čísly

#3 05. 06. 2010 13:31

Re: Výraz s kombinačními čísly

#4 05. 06. 2010 13:38 — Editoval tomec (05. 06. 2010 13:39)

Re: Výraz s kombinačními čísly

#5 05. 06. 2010 21:44

Re: Výraz s kombinačními čísly

#6 06. 06. 2010 15:48

Re: Výraz s kombinačními čísly

Zápatí