Matematické Fórum

Qwerrr · 04. 06. 2010 20:03

"Nechť V je vektorový prostor a nechť u1, ...,uk je konečná posloupnost vektorů z V. Řekneme, že posloupnost vektorů u1, ...,uk je ortogonální, jestliže pro každé i "nerovná se" j je u(i)*u(j)=0." Krát značí skalární součin.

Nerozumím tomu, že důsledek této definice je, že když mám posloupnost tvořenou jedním vektorem (např. vektor u1), je už automaticky ortogonální (a to bez ohledu na to, jestli je nulový nebo není!). Kdyby byl nulový, chápal bych to, ale to platí i když je nenulový?

Vždyť v té definici se tvrdí, že pro i různo od j. Nic to neříká o tom, jak má vypadat skalární součin u1*u1 a jiný skalární součin než tento udělat nemůžu, protože nemám jiné vektory k dispozici? Jaktože teda platí, že i nenulový vektor je sám se sebou ortogonální?

Olin · 04. 06. 2010 20:18

Jestliže je v posloupnosti pouze jeden vektor, alternativa $i \neq j$ nemůže nastat nikdy, a proto se o její důsledky nemusíme starat. Tedy takováto posloupnost vektorů definici splňuje.

Qwerrr · 04. 06. 2010 20:30

Tomu nerozumím :(

Ta alternativa nemůže nikdy nastat, přesně tak, tomu naopak rozumím.

Ta definice přece "polidštěno" říká toto: "Když uvidíš, že v posloupnosti pro každé i "nerovná se" j je u(i)*u(j)=0, pak to nazvi ortogononální posloupností." (Vlastně nevím, jestli je to myšleno ve smylu ekvivalence, ale předpokládám, že ano, protože to tak většinou bývalo i předtím. Ale úplně jasně to z toho neplyne! že je to ekvivalence. A to ani z té původní verze ze skript, ani z mé "polidštěné" verze.)

Nic ta definice ale neříká o případu, kdy se takový skalární součin nedá udělat.

Olin · 04. 06. 2010 21:04 — Editoval Olin (04. 06. 2010 21:06)

Zkusím tu definici polidštit po svém:

Podívejme se na všechny možné dvojice $u_i,\, u_j$ vektorů z posloupnosti. Pokud jsou všechny ty dvojice, ve kterých je $i \neq j$ , dvojice kolmých vektorů, pak je tato posloupnost ortogonální.

Takže pokud se podíváme na dvojice vektorů v jednoprvkové posloupnosti, pak tam máme pouze dvojici $u_1,\, u_1$ . Takže opravdu, všechny dvojice vektorů s různými indexy (žádné tam nejsou!) jsou kolmé.

Příklad v podobném duchu: o množině $A \subset \mathbb{Z}$ řekneme, že je sudá, pokud obsahuje pouze sudá čísla. Speciálně prázdná množina je sudá, protože všechna čísla, která obsahuje, jsou sudá. Neboli, není tam žádné liché číslo, nikdo, kdo by tvrdil opak.

Qwerrr · 05. 06. 2010 13:34

Sice jsem už označil za vyřešené, ale ještě něco mě napadlo:

"Pokud jsou všechny ty dvojice, ve kterých je $i \neq j$ , dvojice kolmých vektorů, pak je tato posloupnost ortogonální."

Co kdybych si vytvořil vlastní definici a to tuto:

"Pokud jsou všechny ty dvojice, ve kterých není $i \neq j$ , dvojice kolmých vektorů, pak je tato posloupnost neortogonální."
(záměna slovíček je -> není; ortogonální -> neortogonální)

Přičemž tyto dvě definice by platily zároveň.

A opěr bych zkoumal, zda je posloupnost tvořená jedním vektorem kolmá nebo není. Postupoval bych naprosto stejně při obhajobě: tj. "Takže pokud se podíváme na dvojice vektorů v jednoprvkové posloupnosti, pak tam máme pouze dvojici $u_1,\, u_1$ . Takže opravdu, všechny dvojice vektorů s různými indexy (žádné tam nejsou!) jsou neortogonální." Není tam žádný, který by tvrdil opak.

Znamenalo by to, že tato definice je sporná? Protože pro jeden vektor platí zároveň, že je kolmý i nekolmý, což nemůže. Takže bych tu druhou definici musel přepracovat nebo úplně zahodit?

Když teď vezmu ten příklad s množinama:

O množině $L \subset \mathbb{Z}$ řekneme, že je lichá, pokud obsahuje pouze lichá čísla. Takto je to podobně sporné, protože prázdná množina by potom musela být zároveň lichá i zároveň sudá.

Olin · 05. 06. 2010 14:10

Ta tvoje nová definice se mi poněkud nezdá z toho důvodu, že všechny dvojice, pro které není $i \neq j$ , jsou ty dvojice, kde je $i=j$ , tj. pouze dvojice tvořené jedním vektorem. Vektor ale nemůže být kolmý sám na sebe, pokud není nulový. Takže podle tvé definice by byla neortogonální každá posloupnost vektorů neobsahující nulový vektor. V tuto chvíli mě bohužel nenapadá nějaká rozumná definice neortogonální posloupnosti, kterou by splňovala každá jednoprvková posloupnost.

Co se týče množin: ano, prázdná množina je jak sudá, tak lichá. To se může jevit jako sporné, protože jsme z celých čísel zvyklí na to, že jsou vždy buď sudé, nebo liché. Ale nesmíme se nechat zmást terminologií a dívat se opravdu jen na definice. Když se podíváme třeba na funkce, tak tam se také používá pojmů sudá a lichá - přičemž nejsou zcela v rozporu, protože funkce $f(x) = 0,\, x \in \mathbb{R}$ je sudá i lichá zároveň. Podobným fenoménem je také třeba rozdíl v tom, že o funkci můžeme říct, že je nerostoucí, ale také to, že není rostoucí, a jsou to dvě různé věci.

Asi je dobré si uvědomit, že tyto pojmy jsou vlastně definovány ve formě implikací. Tedy, řekneme, že funkce $f$ je rostoucí na množině $M$ , pokud pro každá $x, y \in M$ platí
$x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$ .
Extrémní případ: každá funkce je na jednoprvkové množině rostoucí, protože předpoklad $x>y$ není nikdy splněn.

Stejně tak výše uvedená definice ortogonální posloupnosti je vlastně tato: posloupnost vektorů $u_1,\, u_2,\, \ldots,\, u_k$ je ortogonální, pokud pro $i,j \in \{1,\dots,k\}$ platí
$i \neq j \Rightarrow u_i \cdot u_j = 0$ .

Uf, snad jsem to ještě více nezamlžil.

Qwerrr · 05. 06. 2010 14:56

No, nevím :)

S "neortogonální" posloupností, souhlas, nedokázal jsem to domyslet.

K tomu aby někdo vyvrátil tvrzení (Tedy, řekneme, že funkce $f$ je rostoucí na množině $M$ , pokud pro každá $x, y \in M$ platí $x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$ .) potřebuje konkrétní protipříklad (potřebuje říct: "Ale ne, tam !EXISTUJE! $x, y \in M$ pro které ten vztah neplatí.) Vlastně velice podstatné je v definici to slovíčko KAŽDÝ.

Pokud žádný takový protipříklad nenajde, můžu si vesele tvrdit, že tomu tak je a ono tomu tak skutečně je, protože pro každá (žádné další tam nejsou) je ten vztah splněn a NEEXISTUJE protipříklad.