Matematické Fórum

Ginco · 27. 03. 2008 17:15 — Editoval Ginco (27. 03. 2008 18:40)

Připravuji se na matematickou soutěž, a našel jsem si stará zadání, s těmito úlohami si moc rady nevím, tak moc prosím o pomoc
1.
V rovině je dáno 10 různých bodů, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce a kromě nich již
žádné tři v přímce neleží.

Vypočtěte, kolik určují tyto body:
a) přímek
b) trojúhelníků
c) kružnic.

2.
V jaké vzdálenosti od základny musíme vést rovnoběžnou příčku v trojúhelníku ABC, aby se její délka rovnala poloviční výšce na stranu c?
(Dáno z- základna a vc- výška).

3.
Zvětší–li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 56 krát.
Určete počet prvků.

4.
V daném čase se v určitém bodě na přímce nachází částice. Po uplynutí sekundy se rozpadne na dvě částice, které se rozejdou opačnými směry na přímce a zastaví se ve vzdálenosti 1 od původní polohy. Za další sekundu se nové částice znovu rozdělí na dvě částice, které se rozejdou opačnými směry a zastaví se ve vzdálenosti 1 od předcházejících poloh. Při střetu dvou částic částice zanikají. To například znamená, že po dvou sekundách zůstanou jen dvě částice. Kolik částic bude po 129 sekundách?

5.
V množině komplexních čísel řešte rovnici: x3 + 1 = 0 . Řešení v algebraickém tvaru znázorněte v Gausově rovině v jednotkové kružnici a kořeny vyjádřete v goniometrickém tvaru.

Nápady:
1.Nevim
2.Nevim
3. $(n+2)! = 56(n)!$
4. tady bych si asi měl určit rekurentní vzorec dané posloupnosti
5.

Děkuju za každou pomoc

Ivana · 27. 03. 2008 18:06

↑ Ginco:Zdravím : -)
3.př.:
$n!(n+1)(n+2)=n!56$
$n^2+3n-54=0$
$n_1=-9$ a $n_2=6$
$n_1$ není řešením
$n_2=6$ .... počet prvků je 6

Arutha2321 · 27. 03. 2008 18:20

↑ Ginco:

Snad pomůžu s tou pětkou.

Nejdříve výraz rozložíme na $(x+1) (x^2-x+1)$ . Z toho máme první nulový bod -1.
Pak řešíme kvadratickou rovnici. Vyjde nám záporný diskriminant a x1,2 jsou $\frac{1 \pm sqrt{-3}}{2}$ . PO úpravě odmocniny -3 na imaginární jednotku dostaneme komplexní čísla: $\frac12 \pm \frac{sqrt3 i}2$ .

Takže výsledky jsou: $x_1 = -1$
$x_2 = \frac12 + \frac{sqrt3 i} 2$
$x_3 = \frac12 - \frac{sqrt3 i} 2$

jarrro · 27. 03. 2008 18:27

3. $$n+2$!=56n!\nl$n+2$!=n!$n+1$$n+2$\nl56n!=n!$n+1$$n+2$\nl$n+1$$n+2$=56\nln^2+3n+2=56\nln^2+3n-54=0\nl$x+9$$x-6$=0\wedge x\in N\Rightarrow x=6$
5. $x^3+1=0\nl$x+1$$x^2-x+1$=0\nl$x=-1$\vee$ x^2-x+1$\nlx^2-x+1=0\nlx_1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\nlx_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\nl-1=\cos{\pi}+i\sin{\pi}\nl\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}\nl\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}}$

Ivana · 27. 03. 2008 19:01

↑ Ginco:
2.Př . : Zatím tápu , ale posílám alespoň něco pro inspiraci k řešení .

Ginco · 27. 03. 2008 20:27

↑ Ivana:

no taky zatím tápu, zkoušel jsem různé postupy, ale vycházely mi 2 rovnice o 3 neznámých, takže nevim

Kondr · 27. 03. 2008 21:01

ad 2) Z podobnosti trojúhelníků ABC, NMC je ta příčka od C vzdálena o (vc*vc/2)/z, od základny je tedy vzdálena o
vc-(vc*vc/2)/z. Nyní je možno vytýkat a upravovat dle libosti :)

ad 1)
a) přímek
Každá z (10 nad 2)=45 dvojic určuje přímku, ty dvojice, které jsou součástí čtveřice kolineárních bodů ale určují tu samou přímku. Tu jsme tudíž započítali (4 nad 2)=6-krát, 5 jejích kopií musíme odečíst. Přímek je proto 40.

b) trojúhelníků
Možných trojic bodů je (10 nad 3)=120, z toho (4 nad 3) leží v přímce a netvoří trojúhelník, ostatních 120-4=116 trojúhelník tvoří.

c) kružnic
Kružnice jsou opsané trojúhelníkům, proto jich je 116.

4)
Nakreslíme si prvních 5 nebo 9 nebo třeba 17 dob a vypozorujeme zajímavou věc: po $2^n-1$ sekundách je na přímce $2^n$ částic v pravidelných rozestupech délky 2, po $2^n$ sekundách jsou na přímce právě dvě částice, po $2^n+1$ právě 4. A tuto hypotézu lze ověřit indukcí. Předpokládáme, že to platí pro nějaké n; po 2^n dobách jsou na přímce dvě částice, po dalčích 2^n-1 se každá z nich rozpadne na 2^n částic v rozestupech délky 2, ty v se v dalším kroku vždy rozpůlí a jejich poloviny se vyruší, zbudou jen dvě na krajích. Z těch v dalším kroku vzniknou čtyři. A protože důkazy indukcí nemám rád, prozradím, že to jde ukázat i hezčím způsobem -- přítomnost/nepřítomnost částic se chová stejně, jako sudost/lichost kombinačních čísel. A dál? Zkuste sami :)

A jeden dotaz na autora: o kterou soutěž se jedná?

Ginco · 27. 03. 2008 22:45

↑ Kondr:
Celostátní kolo matematické soutěže SOŠ , které se koná zítra....

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2008 17:15 — Editoval Ginco (27. 03. 2008 18:40)

příprava na matematickou soutěž

#2 27. 03. 2008 18:06

Re: příprava na matematickou soutěž

#3 27. 03. 2008 18:20

Re: příprava na matematickou soutěž

#4 27. 03. 2008 18:27

Re: příprava na matematickou soutěž

#5 27. 03. 2008 19:01

Re: příprava na matematickou soutěž

#6 27. 03. 2008 20:27

Re: příprava na matematickou soutěž

#7 27. 03. 2008 21:01

Re: příprava na matematickou soutěž

#8 27. 03. 2008 22:45

Re: příprava na matematickou soutěž

Zápatí