Matematické Fórum

graviton

Takže..
zintegrovat si objem koule sčítáním objemů válců umím..
tenhle výsledek když zderivuju podle poloměru resp. průměru tak chápu že je to vlastně změna povrchu.. takže dostanu povrch koule..
ALE..
proč nevychází povrch koule součtem plášťů válců?
$x$ je poloměr elementárního válce
$d y$ je výška elválce
$y$ je kolmá vzdálenost elválce od středu koule = počátku souřadnic

$S = \int dS$ $*$
$S = \int_{-R}^R 2\pi x \cdot d y$
z pythagorovy věty $x =\sqrt{ R^2 - y^2}$
$S =2\pi \int_{-R}^R \sqrt{ R^2 - y^2} \cdot d y$
dokonce sem se ho naučil počítat abych si ověřil že v wxmaximě není chyba :-D
$S =2\pi \Big[ \frac{R^2\arcsin(\frac{y}{R})} {2} +\frac {y\sqrt{R^2-y^2}}{2} \Big]_{-R}^R$
po dosazení
$S = \pi R^2 [\arcsin(1)-\arcsin(-1)] \nl S = 2 \pi R^2 \cdot \arcsin(1)$
arcus sinus jedné je podle mě $90^\circle$ čili $\frac{\pi}{2}$
takže povrch koule je
$S = \pi^2 r^2$ ??
..wxmaxima dospěla ke stejnému výsledku :)
jediná nevýhoda že správně má být:
$S = 4 \pi R^2$
takže mi vyšel asi 21,5% menčí..

$*$ jediná chyba co mě napadla je při tomhle kroku..
třeba tam musím kromě pláště připočítávat ještě kousíčky z podstavy
(nějaký mezikruží..), ale to se mi zdá dost zanedbatelný..
a nebo ne? jak třeba přispívá plášť elementárního válce na "pólech" koule ? :)

sem zvědav kdo bude mít koule a rozluští to :)

medvidek · 02. 06. 2010 03:03

↑ graviton:
Problém je v tom, že sečítáváš plochy plášťů elementárních válců.
Správně bys měl sečítávat plochy plášťů elementárních komolých kuželů.

Jakmile se ti podaří odvodit následující vztah pro plochu pláště elementárního komolého kužele, máš vyhráno
$S_{pl}=2 \pi R \cdot dy$
Zde je zajímavé, že ta plocha $S_{pl}$ nezávisí na souřadnici $y$ , tudíž integrace bude triviální:
$S = \int_{-R}^R S_{pl} = \int_{-R}^R 2\pi R \cdot dy = 2 \pi R \int_{-R}^R dy=4 \pi R^2$

graviton · 06. 06. 2010 12:17

tak konečně.. ale že mi to dalo zabrat..
původně jsem to viděl tak, že ty špičky kuželů ze kterých dělám ty komolý, míří vždy k "pólům" koule..
ale jakmile jsem si to nakreslil že maj špice ve středu, suddenly to začalo dávat smysl :)
děkuji ještě jednou za radu :)

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2010 01:27 — Editoval graviton (02. 06. 2010 01:30)

kopněte kouli do koulí! >8E

#2 02. 06. 2010 03:03

Re: kopněte kouli do koulí! >8E

#3 06. 06. 2010 12:17

Re: kopněte kouli do koulí! >8E

Zápatí