Matematické Fórum

ronaldinho10 · 05. 06. 2010 22:49

V rovnoramenném trojúhelníku ABC je AC = BC = 13, AB = 10
Vypočtěte:
a) poloměr kružnice vepsané
b) poloměr kružnice opsané

Výsledky jsou 3,33 a 7,04. Ale stále se k nim nemohu dopočítat. Díky za pomoc

BakyX · 05. 06. 2010 23:14 — Editoval BakyX (05. 06. 2010 23:14)

$s=\frac{13+13+10}{2}=18$

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)}=\sqrt{18*5*5*8}=\sqrt{3600}=60$ .

$\varrho=\frac{S}{s}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}cm$

$r=\frac{abc}{4S}=\frac{13*13*10}{4*60}=\frac{1690}{240}=\frac{169}{24}cm$

zdenek1 · 05. 06. 2010 23:16

↑ ronaldinho10:
b)
výška trojúhelníka je z Pythagorovy věty $\sqrt{169-25}=12$
V malém trojúhelníku s přeponou $r$ je zase P. věta
$r^2=5^2+(12-r)^2$
$r=\frac{169}{24}$

zdenek1 · 05. 06. 2010 23:26

↑ ronaldinho10:
a) vepsaná

trojúhelníky $AST$ a $ASP$ jsou shodné, proto $|AP|=|AT|=5$
V červeném trojúhelníku $STC$ zase P. věta
$r^2+8^2=(12-r)^2$
$r=\frac{10}3$

BakyX · 05. 06. 2010 23:56 — Editoval BakyX (05. 06. 2010 23:57)

↑ ronaldinho10:

Len doplním všeobecné vzorce pre rovnoramenný trojuholník:

$\varrho=\frac{cv_c}{2a+c}=\frac{c\sqrt{4a^2-c^2}}{2(2a+c)}$

$r=\frac{a^2}{2v_c}=\frac{a^2}{\sqrt{4a^2-c^2}}=\frac{a^2\sqrt{4a^2-c^2}}{4a^2-c^2}$

↑ zdenek1:

Ten tvoj postup je zaujímavý. Riešil som to ako ty, ale všeobecne, a vyšli mi hore uvedené vzorce.

ronaldinho10 · 06. 06. 2010 13:31

Díky moc... A ještě bych měl dotaz kdalší úloze:

Tětiva kružnice je od středu kružnice vzdálena 8 cm a je o 2 cm větší než poloměr kružnice. Určete poloměr....

Vycházel jsem z toho, že polovina tětivy je tedy r/2 + 1
Potom dostanu pravoúhlý trojúhelník o stranách 8cm, r a r/2 + 1

Vyjádřím to pomocí Pyth. věty a přes kvadratickou rovnici mi vyjde poloměr 7,622.
Podle výsledků má ale vyjít 9,43. Kde dělám chybu? Díky

gadgetka · 06. 06. 2010 13:53

$r^2=8^2+\frac{(r+2)^2}{4}\nl4r^2=256+r^2+4r+4\nl3r^2-4r-260=0\nlr_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{3136}}{6}=\frac{4\pm 56}{6}$

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2010 22:49

Poloměr kružnice opsané a vepsané?

#2 05. 06. 2010 23:14 — Editoval BakyX (05. 06. 2010 23:14)

Re: Poloměr kružnice opsané a vepsané?

#3 05. 06. 2010 23:16

Re: Poloměr kružnice opsané a vepsané?

#4 05. 06. 2010 23:26

Re: Poloměr kružnice opsané a vepsané?

#5 05. 06. 2010 23:56 — Editoval BakyX (05. 06. 2010 23:57)

Re: Poloměr kružnice opsané a vepsané?

#6 06. 06. 2010 13:31

Re: Poloměr kružnice opsané a vepsané?

#7 06. 06. 2010 13:53

Re: Poloměr kružnice opsané a vepsané?

Zápatí