Matematické Fórum

Jitu · 06. 06. 2010 18:43

Je dána přímka p, bod A a reálné číslo k. Určete množinu M všech bodů X, pro které platí /AX/=k/pX/
a) A leží na p a k=0, k=1
b) A neleží na p k=0, k=1

Můžete se někdo kuknout natento příklad, nevím si s tím rady.
Děkuji

zdenek1 · 06. 06. 2010 23:01

↑ Jitu:
pokud $k=0$ , tak a) i b) je $|AX|=0$ , takže $X=A$
pokud $k=1$ , tak b) je parabola - rovnice $|AX|=d(pX)$ je přímo definice paraboly s ohniskem v bodě $A$ a s řídící přímkou $p$ .

a) zavedame si soustavu souřadnic tak, že přímku $p$ ztotožníme s osou $x$ a bod $A$ s počátkem.
$A[0;0]$ , $p:y=0$ , $X[x,y]$
$|AX|=d(X,p)$
$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{|y|}{\sqrt1}$
$x^2+y^2=y^2$
$x=0$
Hledaná množina bodů je přímka procházející bodem $A$ a kolmá na přímku $p$ .

Jitu · 07. 06. 2010 15:46

↑ zdenek1: Děkuji za odpověď. Ještě mám takový dotaz, jak by to vypadalo, kdyby k=(0,1) pro oba případy?
Děkuji

zdenek1 · 07. 06. 2010 16:43

↑ Jitu:
a) $k\in(0;1)$
souřadnice stejně jako prve.
$\sqrt{x^2+y^2}=k|y|$
$x^2+y^2=k^2y^2$
$x^2+(1-k^2)y^2=0$
$X[0;0]$ protože $1-k^2$ je kladné číslo a součet bude nula jen pro $[0;0]$

zdenek1 · 07. 06. 2010 17:13

↑ Jitu:
b) přímku ztotožním s osou $x$ , bod $A$ leží někte na ose $y$ a má souřadnice $A[0;e]$ , bod $X[x;y]$

$\sqrt{x^2+(y-e)^2}=k|y|$
$x^2+y^2-2ey+e^2-k^2y^2=0$
$x^2+(1-k^2)y^2-2ey+e^2=0$
$x^2+(1-k^2)\left[y^2-2\frac e{1-k^2}y+\left(\frac e{1-k^2}\right)^2\right]=\frac{e^2}{1-k^2}-e^2$
$x^2+(1-k^2)\left(y^2-\frac e{1-k^2}\right)^2=\frac{e^2k^2}{1-k^2}$
$\frac{x^2}{\frac{e^2k^2}{1-k^2}}+\frac{\left(y^2-\frac e{1-k^2}\right)^2}{\frac{e^2k^2}{(1-k^2)^2} }=1$

to je elipsa, střed a poloosy vidíš (doufám).

Na obrázku máš $e=2$ a $k$ postupně 0,2, 0,4 0,6 0,8

pro $k=1$ y to přešlo v parabolu