Matematické Fórum

Almion · 07. 06. 2010 16:34

Pěkné odpoledne,
narazil jsem dnes na problém s jednou limitou, konkrétně
$\lim_{x\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}= 1/e$ .
Matlab mi sice prozradil výsledek, ale já bohužel nemám tušení, jak k němu dojít, velmi bych tedy ocenil vaši pomoc.

Stýv · 07. 06. 2010 17:17

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

Marian · 07. 06. 2010 18:38 — Editoval Marian (07. 06. 2010 18:47)

↑ Stýv: Postup, na který se odkazuješ používá zbytečně pokročilé techniky, tj. integrál. Tuto základní limitu lze odovodit s výrazně snažším základem vědění. Je zapotřebí si uvědomit, že ↑ Almion: může být v situaci, kdy se žádá řešení bez použití integrálu.

Prozradím, že uvedená skutečnost plyne z definice Eulerova čísla e ve formě limity
$\mathrm{e}:=\lim_{n\to\infty}\quad\left (1+\frac{1}{n}\right )^n.$

Stačí totiž použít tvrzení o konvergenci geometrického průměru kladných čísel (jehož důkaz je zcela elementární a je pouze jednoduchým důsledkem věty o konvergenci aritmetického průměru).

Pokud máte někdo zájem, můžete tvrzení o konvergenci aritmetického průměru dokázat a aplikovat na problém s limitou v příspěvku #1.

Nápověda snad ještě zde.

Almion · 07. 06. 2010 21:24

Diky za rady, věřím, že se poperu i s integrálem, ovšem připomenutí defiinice Eulerova čísla výrazně pomohlo. Původní problém byl najít obor poloměr mocninné řady s
$a_n = \frac{n!}{n^n}$
což jde i jinak než přes limitu a s využitím oné definice velmi snadno. Ovšem Vaše odpovědi si po zkoušce, až bude trochu víc času, důkladně projdu, díky.

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2010 16:34

Limita s faktorialem

#2 07. 06. 2010 17:17

Re: Limita s faktorialem

#3 07. 06. 2010 18:38 — Editoval Marian (07. 06. 2010 18:47)

Re: Limita s faktorialem

#4 07. 06. 2010 21:24

Re: Limita s faktorialem

Zápatí