Matematické Fórum

johny0222 · 05. 06. 2010 17:10

Zadanie: Vypocitajte plosny obsah casti roviny

33

- chcel by som sa k nej aj spytyt ci to mam dobre znaroznene, teda do zapornej casti by ten obsah nezasahoval

34

- taktiez by som sa chel spytat ci to mam dobre oznacene, a este by som potreboval nejaku radu ako na to , kedze pod odmocninou nemoze byt zaporne cisl, co v mojom pripade je

35

-na tento priklad by som sa chcel spytat len z jedneho dovodu, a to preto ze mi tam vysiel zaporny vysledok, vysledok by bol inak dobry, keby tam nebolo zaporne cislo

jelena · 05. 06. 2010 20:08

↑ johny0222:

1. papír: jsou tam takové nepřesnosti:

a) horní funkce je $y=\sqrt {x}$ , má být zapsána jako první při integrování, dolní je $y=x-2$ . Pokud není žádné další omezení (y=0), potom se počítá i kousek plochy pod osou x.

b) když se stanoví meze má být: $\sqrt{x}=x-2$ po umocneni mame $x=x^2-4x+4$ , vysledek bude jiny.

2. papir (34) pro x=3, mame y=10, ale není třeba hledat žádný kořen, jelikož meze (x=0, x=3) už jsou ze zadání.

3. papír (35) je třeba přehodit funkce v zápisu pro integral - vidiš, že na grafu je "horní funkce" $y=-x^2+5x+14$ má být v zápisu integralu jako první.

Snad.

johny0222 · 05. 06. 2010 21:38

tu 33 som si kontroloval, ale nejak mi nevychadza vysledok

vysledok: 9/2

ostate mi uz vysli

jelena · 05. 06. 2010 22:44

↑ johny0222:

na intervalu od x=0 do x=1 je potřeba pořádně vykreslit parabolu y^2=x, jelikož na tomto intervalu je plocha omezena touto parabolou, proto obsah se bude počítat $S=2\int_0^1\sqrt{x}\rm{d}x$ a tento obsah přičteš ke svému předchozímu výsledku.

Nákres této časti plochy.

johny0222 · 07. 06. 2010 20:12

a preco am je pred integralom 2 a medze od 0 k 1 ?

jelena · 08. 06. 2010 00:16

↑ johny0222:

protože na intervalu od 1 do 4 máme omezující parabolu a přímku, ale na intervalu od 0 do 1 je omezující pouze parabola. Jelikož je symetrická ohledně osy x, můžeme vypočíst obsah pouze poloviny paraboly (tedy mezi horní vetvi paraboly a osou x) a vynásobit 2.

V pořádku?

johny0222 · 08. 06. 2010 10:00

.. nejake lahsie vysvetlenie by sa nenaslo .. lebo som tomu skoro vobec nepochopil .... napriklad preco tam je medz 0 1 a nie napriklad 0 2 . a tak 2 prd integral sa tam dava stale ked mame nejake zadanie y^2 = .... nie ?

jelena · 08. 06. 2010 14:21

↑ johny0222:

Kam už lehčí?

Je potřeba pořádně si vykreslit část roviny, jejiž obsah počítáme. Na náčrtu - viz papíry není dobře vykreslena parabola y^2=x dolní vetev paraboly (pod osou x) není zakreslena. Vyplynulo to, zřejmě, z postupu výpočtu pomoci vyjádření $y=\sqrt x$ .

Pokud se to zakreslí pořádně, tak na intervalu od 0 do 1 je plocha omezena parabolou, na intervalu 1 do 4 je horní omezujíc křívka parabola, dolní omezuje přímka.

Vápočet obsahu plochy na intervalu 1 až 4 je proveden ↑ johny0222:, chybí výpočet obsahu plochy omezené parabolou na intervalu 0, 1.

Zde mohu volit dvě možnosti - buď celou plochu rozdělím na 2 stejné díly a počítám obsah pod $y=\sqrt x$ nad $y=0$ na intervalu 0, 1. Výsledek vynásobím 2, dostanu celý obsah.

Nebo počítám horní funkce $y=\sqrt x$ , dolní funkce $y=-sqrt x$ (proč je zde minus? souvisí s vyjádřením inverzní funkce k $y^2=x$ atd.) a obsah plochy je $\int_0^1 (\sqrt x -(-\sqrt x))\rm{d}x$ Což je "složitější"

Jak ještě jinak podrobně nebo více pochopitelně, nevím.

Stačí tak?