Matematické Fórum

Pavel Brožek · 06. 03. 2010 17:43

Pro $a\in\mathbb{C},\,|a|>1$ najděte limitu

$\lim_{n\to\infty}\,\frac{n}{a^n}\sum_{k=1}^{n}\frac{a^k}{k}$ .

Marian · 08. 03. 2010 18:01

↑ BrozekP:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 14. 03. 2010 21:23 — Editoval Marian (14. 03. 2010 21:25)

↑ BrozekP:

Ještě jeden pokus, více úspěšnější ...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 04. 06. 2010 17:09 — Editoval Marian (04. 06. 2010 19:27)

Úloha je již zde hodně dlouho a já stále nevím, zda-li někdo má snadnější řešení. Konečně, v tomto příspěvku bych chtěl dovést úvahy do finále. Aby se mi to podařilo (cestou, kterou jsem si vybral), dokážu jedno pomocné tvrzení, jehož důkaz spočívá na Abelově parciální sumaci aplikované na zbytky konvergentní nekonečné řady s komplexními členy.

Přistoupíme nejprve k formulaci
Tvrzení. Nechť jsou splněny následující podmínky:
(1) řada komplexních čísel $\textstyle\sum\limits_{m=1}^{\infty}\alpha _m$ konverguje,
(2) $\{\beta_{m,n}\}_{m=1}^{n}$ je monotónní posloupnost reálných čísel pro každé přirozené $n>1$ ,
(3) existuje konstanta $B>0$ taková, že pro každé přirozené $n$ platí $|\beta _{n,n}|<B$ ,
(4) limita posloupnosti $\lim_{n\to\infty}\beta_{m,n}=0$ pro libovolné fixní přirozené $m$ (tj. mimo jiné m<n).

Potom
$\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^{n}\alpha _m\beta_{m,n}=0.$

Důkaz. Zobrazit/skrýt!

Je samozřejmé, že podmínky tohoto tvrzení lze bez problémů aplikovat na situaci v mém předchozím příspěvku.

Pavel Brožek · 04. 06. 2010 17:57

Omlouvám se, zapomněl jsem na toto téma. Já jsem limitu vyřešil pouze za předpokladu, že existuje.

$L=\lim_{n\to\infty}\,\frac{n}{a^n}\sum_{k=1}^{n}\frac{a^k}{k}=\lim_{n\to\infty}\,\frac{n}{a^n}$\frac{a^n}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a^k}{k}$=\nl =1+\lim_{n\to\infty}\,\frac{n}{(n-1)a}\cdot\frac{n-1}{a^{n-1}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a^k}{k}=\nl =1+\frac1a\cdot\lim_{n\to\infty}\,\frac{n-1}{a^{n-1}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{a^k}{k}=1+\frac1a\cdot L$

Z toho snadno vyjádřím L:

$L=\frac{a}{a-1}$

Když jsem na fórum tuto limitu dával, myslel jsem, že dokázat existenci už bude lehké, to jsem se zmýlil. Strávil jsem tím pak ještě dost času, ale už se mi to nepodařilo dořešit.

Tvůj důkaz jsem si prošel, několik kroků mi není jasných, ještě se zamyslím a případně zeptám. Také mi zatím není jasné, jak bys tvrzení aplikoval na tuto limitu.

Pavel Brožek · 04. 06. 2010 18:48

Už mi zbývá poslední nejasnost. V části 2:

Marian napsal(a):
a tedy platí také

$\sum_{m=1}^{M-1}\sigma_m(\beta_{m,n}-\beta_{m+1,n})=0.$

Neměla by před tím být ještě limita $n\to\infty$ ? Také jsem si nevšiml, že bys toto někde dál použil. Můžeš to prosím podrobněji vysvětlit?

Marian · 04. 06. 2010 19:11 — Editoval Marian (04. 06. 2010 19:26)

↑ BrozekP:

Měla tam být limita, ale skutečně to nepotřebuju, takže tento kousek upravím v příští editaci (již opraveno). Dále ti nebylo jasné, jak aplikovat dokazované tvrzení na problém původní. Závěrem příspěvku #3 se vyskytuje limita ze součtu, kde horní mez sumace je obsažena netriviálně za znakem sumy. Položíme $\alpha_m=a^{-m}$ a podobně $\beta_{m,n}=m/(n-m)$ , $1\le m\le n-1$ . Podmínka s monotonií je splněna a taktéž limita je nulová pro fixní m.

Hodně netriviální je situace, kdy posloupnost $\{\beta_{m,n}\}_{m}$ nesplňuje podmínky uvedené v tvrzení výše. Potom se dokazuje podobné tvrzení mnohem obtížněji, nebo se dokázat třeba i nedá. Podobná tvrzení mají někdy zcela zásadní aplikace a důležitost.

Pavel Brožek · 04. 06. 2010 21:17

↑ Marian:

Díky za vysvětlení. Ta aplikace na limitu mi nebyla jasná zejména kvůli případu n=m, kdy by $\beta_{m,n}$ nebylo definováno. Pak mi došlo, že si to třeba stačí malinko přeznačit ( $m=k+1$ ) a vše je hned jasné.

Tomas.P · 07. 06. 2010 22:33

Dobrý večer

Promiňte, že vyrušuji, mám dotaz.
Jak se můžu propracovat k par excellence matematické úrovni?

Děkuji

Rumburak · 08. 06. 2010 09:59

↑ Tomas.P:
Odkud začíná úroveň "par excellence" ? Pohled na to je jistě relatvní. Jedinou cestou, jak se v tomto oboru rozvíjet, je studium - jako ostatně
v každém oboru. Výsledek závisí samozřejmě na úrovni zájmu i na talentu. Matematiku lze studovat jako samostatný universitní obor.
Nejpodstatnější je pochopit, o co v matematice obecně jde, což se universitní studenti oboru matematika dovědí hned v prvním semestru,
pak už by s pomocí vhodně seřazené literatury hypoteticky mohli vystačit se samostudiem.

Marian · 08. 06. 2010 13:10

↑ Tomas.P:↑ Rumburak: Snad bych jen doplnil, že významný český matematik Vojtěch Jarník napsal článek o tom, jak studovat matematiku (máme-li o ni skutečný zájem). Tento článek je ke stažení volně zde ve formátu PDF (1,3 MB). Může sloužit jako inspirace.

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2010 17:43

Březnová limita III

#2 08. 03. 2010 18:01

Re: Březnová limita III

#3 14. 03. 2010 21:23 — Editoval Marian (14. 03. 2010 21:25)

Re: Březnová limita III

#4 04. 06. 2010 17:09 — Editoval Marian (04. 06. 2010 19:27)

Re: Březnová limita III

#5 04. 06. 2010 17:57

Re: Březnová limita III

#6 04. 06. 2010 18:48

Re: Březnová limita III

Marian napsal(a):

#7 04. 06. 2010 19:11 — Editoval Marian (04. 06. 2010 19:26)

Re: Březnová limita III

#8 04. 06. 2010 21:17

Re: Březnová limita III

#9 07. 06. 2010 22:33

Re: Březnová limita III

#10 08. 06. 2010 09:59

Re: Březnová limita III

#11 08. 06. 2010 13:10

Re: Březnová limita III

Zápatí