Matematické Fórum

Alexito · 08. 06. 2010 15:06

Mám příklad určete partikulární řešení rovnice
Vůbec nevím co s tím

kaja(z_hajovny) · 08. 06. 2010 15:18

nejdriv se musi najit obecne reseni

Alexito · 11. 06. 2010 06:29

tak jak se to teda počítá?

Rumburak

↑ Alexito:
Aby rovnice

(A) $y' \,-\,\frac {y}{x}\,=\,x\,\ln\,x$ .

měla smysl, musíme předpokládat x > 0 . Jde o lineární ODR prvního řádu s nenulovou pravou stranou (tedy LR nehomogenní).
Ty se řeší na dvě etapy - v tomto případě tedy:

I. Najde se obecné řešení odpovídající "pomocné" homogenní rovnice, jejíž pravou stranou bude 0, tj. rovnice

(0) $u' \,-\,\frac {u}{x}\,=\,0$ ,

postupovat budeme metodou separace proměnných. Nalezené řešení bude (pro rovnici prvého řádu) závislé na jedné integrační konstantě,
kterou označíme (dejme tomu) C , takže OŘ rovnice (0) bude mít tvar

(1) $u(x) = w(x,C)$ ,

kde w je funkce dvou proměnných x, C.

II. Z obecného řešení (1) rovnice (0) odvodíme řešení rovnice (A) metodou variace konstanty, podrobněji: položíme

(2) $y(x) = w$x,C(x)$$ ,

kde w je funkce z (1) , při tom jsme konstantu C nahradili neznámou funkcí C(x). Předpis pro funkci C(x) najdeme "zkouškou",
tj. (2) dosadíme do (A), čímž získáme rovnici pro derivaci funkce C, - při tomto dosazení je třeba dbát na správné zderivování
funkce (2) podle věty o derivaci složeného zobrazení, tedy

$y'(x) = \frac{\partial w}{\partial x}$x,C(x)$ \,+\, \frac{\partial w}{\partial C}$x,C(x)$\cdot C'(x)$ .

Z C' získáme C integrací - výsledek (závislý na integrační konstantě D) dosadíme do (2) a tím budeme s obecným řešením hotovi.
Partikulární řešení získáme z něho vhodnou volbou konstanty D (tak, aby byla splněna poč. podmínka).

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2010 15:06

partikulární řešení rovnice

#2 08. 06. 2010 15:18

Re: partikulární řešení rovnice

#3 11. 06. 2010 06:29

Re: partikulární řešení rovnice

#4 11. 06. 2010 10:24 — Editoval Rumburak (11. 06. 2010 10:54)

Re: partikulární řešení rovnice

Zápatí