Matematické Fórum

Bublinka · 28. 03. 2008 20:07

Prosím o pomoc s tímto příkladem:
Z elipsovitých výlisků s poloosami a, b, kde a = 12, b = 8 máme vysekat obdélníky se stranami rovnoběžnými s osami těchto eliptických výlisků. Jaké musí být rozměry těchto obdélníků, aby jejich obsah byl co největší? Určete strany těchto vysekaných obdélníků a jejich obsah.

Myslim si, ze by strany toho obdelniku meli prochazet ohnisky elipsy, ale to je jen moje domnenka.
Diky za rady B.

robert.marik

elipsa ma rovnici x=a*cos(phi), y=a*sin(phi)

obsah toho obdelnika je S=4*a*cos(phi)*b*sin(phi) (rozmyslete si proc)

a ted staci maximalizovat funkci S(phi) na intervalu od nuly do pi/2.

Tohle je jedna z moznosti (me prijde nejjednodussi), dalsi moznost je pouzit rovnici elipsy x^2/a^2 + y^2/b^2=1 a pracovat primo s kartezskymi souradnicemi x a y.

Jestli se to trefi do ohniska jsem nepocital.

Olin · 28. 03. 2008 20:52

robert.marik:
V těch parametrických rovnicích je pravděpodobně chyba, správně asi má být y = b*sin(phi).

Jinak co tak vidím, tak jednoduchou goniometrickou úpravou dostaneme
$S(\varphi) = 2ab \sin(2\varphi)$
odkud už je jenom krůček k výsledku.

robert.marik · 28. 03. 2008 21:39

↑ Olin:
je tam opravdu překlep, děkuju za upozornění, to S už je naštěstí správně

S tou úpravou na sinus dvojnásobného argumentu se to už dá řešit i bez derivací

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2008 20:07

maximalni obsah obdelnika vepsaneho elipse

#2 28. 03. 2008 20:19 — Editoval robert.marik (28. 03. 2008 20:20)

Re: maximalni obsah obdelnika vepsaneho elipse

#3 28. 03. 2008 20:52

Re: maximalni obsah obdelnika vepsaneho elipse

#4 28. 03. 2008 21:39

Re: maximalni obsah obdelnika vepsaneho elipse

Zápatí