Matematické Fórum

wollodya · 08. 06. 2010 20:22

hojte, mam zaujimavu ulohu, znova z maturity (tentokrat 2009), neviem ako ho vypocitat, skusal som pomer strany stvorca k pomeru vysky trojuholnika ale nijak neviem na to prist

priklad je vlastne nanic, viem aj vysledok zo zoznamu spravnych odpovedi, ale zaujima ma ako to vypocitat, vdaka za pomoc

pietro · 08. 06. 2010 20:47

↑ wollodya:posielam a pozdravujem

gadgetka · 08. 06. 2010 20:50

Trojúhelník ABC, čtverec KLMN, strana trojúhelníku a, strana čtverce b, všechny úhly v trojúhelníku mají 60°

$|AK|=\frac{a-b}{2}$

$\tan{60^{\circ}}=\frac{b}{\frac{a-b}{2}}\nl\sqrt3=\frac{2b}{a-b}\nl\sqrt3(a-b)=2b\nl\sqrt{3}a-\sqrt{3}b=2b\nl\sqrt{3}a=2b+\sqrt{3}b\nlb(2+\sqrt3)=\sqrt{3}a\nlb=\frac{\sqrt{3}a}{2+\sqrt3}$

Chrpa · 08. 06. 2010 20:54 — Editoval Chrpa (08. 06. 2010 20:59)

↑ wollodya:
Popřípadě upravit ještě stranu čverce od ↑ gadgetka: na
$b=a(2\sqrt3-3)$
Mělo by Ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

gadgetka · 08. 06. 2010 21:00

Děkuji, vidíš, rozšířit zlomek mne už nenapadlo :)

wollodya

popravde, kym bola v tejto teme len jedna odpoved od pietro, tak u neho som si vsimol to co ma nenapadlo, to ze
$x = (a-z)/2$ ..vysvetlene nizsie, dalej som postupoval sam, ale ako vidim uz ste sa tu pekne rozpisali, vdaka za pomoc

$a = 6$

$x = (a-z)/2$

a pome na to (kedze nemam rad tangens a cosinus a cotangens, sinus postupoval som cez pytagorovu vetu podla pravouhleho trojuholnika ktory vznikol nalavo od stvorca)

$(6-z)^2=z^2 + ((6-z)/2)^2$

$36 - 12z + z^2 = z^2 + (36 - 12z + z^3)/4$

$144 - 48z + [s]4z^2[/s] = [s]4z^2[/s] + 36 - 12z + z^2$

$108 = 36z + z^2$

$z^2 + 36z - 108 = 0$

..dalej riesit kvadraticku rovnicu

vysli korene 2,785 a -38,785, na prvy pohlad je jasne ze 2,785 je to co sme potrebovali a zaokruhlene je to 2,78

este raz vdaka za pomoc

Chrpa · 08. 06. 2010 22:38

↑ wollodya:
Pokud tedy nemáš rád goniometrické funkce, potom
lze výpočet provést pomocí podobnosti.
Nemusíš použít ani jednu větu starého Pythágora.
Pro výšku rovnostranného trojúhelníku platí:
$v=\frac a2\sqrt3$
Z podobnosti trojúhelníku platí:
$\frac{\frac a2}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac xz\nl\frac xz=\frac{1}{\sqrt3}$
$x=\frac{a-z}{2}$
$\frac{a-z}{2z}=\frac{1}{\sqrt3}\nla\sqrt3-z\sqrt3=2z\nla\sqrt3=z(\sqrt3+2)\nlz=\frac{a\sqrt3}{\sqrt3+2}\nlz=a(2\sqrt3-3)$

wollodya

↑ Chrpa:

vzorec $v=\frac a2\sqrt3$ vlastne vychadza z tg(60) ale myslim ze by som si nakoniec vybral tvoj postup ktory je podobny postpu gadgetky ;) ..thx all

Cheop · 09. 06. 2010 09:29 — Editoval Cheop (09. 06. 2010 09:36)

↑ wollodya:
Toto $v=\frac a2\sqrt3$ vychází i z Pythagorovy věty, takže
pokud tento vztah neznáš, pak pro jeho odvození musíš stejně
jednu Pythagorovu větu použít.
To znamená, že ↑ Chrpa: tedy vlastně já jsem neměl tak docela pravdu.
S tímto: Nemusíš použít ani jednu větu starého Pythágora.

wollodya

↑ Cheop:

vzorec $v=\frac a2\sqrt3$ skor vychadza z toho tangensu ako vravim, pretoze tg(60) (uhol v dolnom pravom rohu) je $sqrt3$ , cize je to pomer odvesny a odvesny, a nasobime dlzku jednej odvesny krat odmicnina z troch, cize $a/2*sqrt3$ tak ako je to vo vzorci hore

..pytagorova veta znie $a^2+b^2=c^2$

ale taketo zakladne veci ti urcite nemusim vysvetlovat

Cheop · 11. 06. 2010 13:00 — Editoval Cheop (11. 06. 2010 14:58)

↑ wollodya:
Podle obrázku platí:

$a^2=v^2+\left(\frac a2\right)^2\nla^2=v^2+\frac{a^2}{4}\nlv^2=\frac{3a^2}{4}\nlv=\frac a2\cdot\sqrt3$
K výpočtu tedy použita Pythagorova věta.

michal500 · 15. 03. 2011 22:39

nie
$36 - 12z + z^2 = z^2 + (36 - 12z + z^3)/4$
ale
$36 - 12z + z^2 = z^2 + (36 - 12z + z^2)/4$

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2010 20:22

štvorec vpísany do trojuholníka

#2 08. 06. 2010 20:47

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#3 08. 06. 2010 20:50

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#4 08. 06. 2010 20:54 — Editoval Chrpa (08. 06. 2010 20:59)

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#5 08. 06. 2010 21:00

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#6 08. 06. 2010 21:56 — Editoval wollodya (08. 06. 2010 22:01)

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#7 08. 06. 2010 22:38

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#8 09. 06. 2010 09:25 — Editoval wollodya (09. 06. 2010 09:27)

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#9 09. 06. 2010 09:29 — Editoval Cheop (09. 06. 2010 09:36)

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#10 11. 06. 2010 12:55 — Editoval wollodya (11. 06. 2010 12:56)

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#11 11. 06. 2010 13:00 — Editoval Cheop (11. 06. 2010 14:58)

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

#12 15. 03. 2011 22:39

Re: štvorec vpísany do trojuholníka

Zápatí