Matematické Fórum

Karlos · 08. 06. 2010 21:06

V automobilové soutěži zůstalo 8 automobilů značky A, které vykazovali dlouhodobě spolehlivost jízdy 75% a 5 automobilů značky B se spolehlivostí jízdy 60% . Poslední den do cíle nedojel jeden automobil.Určete pravděpodobnost že to byl automobil značky B .

lukaszh · 08. 06. 2010 22:19

↑ Karlos:

Stačí použiť Bayesovu vetu (v tomto prípade zjednodušenú)

$\rm{P}[A_i|B]=\frac{\rm{P}[B|A_i]\cdot\rm{P}[A_i]}{\sum_{k=1}^{n}\rm{P}[B|A_k]\cdot\rm{P}[A_k]}$

Ako jav B zvolíme, že nedošiel jeden automobil. Javy A_i, ktoré tvoria rozklad množiny $\rm{\Omega}$ sú

$A_1=\rm{automobil bol triedy A}\nlA_2=\rm{automobil bol triedy B}$

$\rm{P}[A_2|B]=\frac{\rm{P}[B|A_2]\cdot\rm{P}[A_2]}{\rm{P}[B|A_1]\cdot\rm{P}[A_1]+\rm{P}[B|A_2]\cdot\rm{P}[A_2]}$

Tie čiastkové pravdepodobnosti si dopočítame. Hodnota $\rm{P}[B|A_1]$ hovorí, že aká je pravdepodobnosť, že nedôjde práve jeden automobil, za predpokladu, že uvažujeme triedu A.

$\rm{P}[B|A_1]={8\choose1}\cdot0.75^{7}\cdot0.25^1\approx0.26697$

Podobne ostatné.

$\rm{P}[B|A_1]={5\choose1}\cdot0.6^{4}\cdot0.4^1\approx0.2592$

a dosadíme

$\rm{P}[A_2|B]\approx\frac{0.2592\cdot\frac{5}{13}}{0.26697\cdot\frac{8}{13}+0.2592\cdot\frac{5}{13}}\approx0,37765$

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

To není dobře. Není mi ani jasné, co znamenají jevy $A_i$ . Když např. nedojede žádné auto, tak který z jevů $A_i$ nastává? (Abys mohl použít Bayesův vzorec, musí být $A_i$ úlný systém jevů.)

↑ Karlos:

Označme $a$ počet aut značky A, která nedojela, a $b$ počet aut značky B, která nedojela. Zajímá nás podmíněná pravděpodobnost

$P:=P$b=1|(a=0\wedge b=1)\vee(a=1\wedge b=0)$$

Podmíněnou pravděpodobnost lze přepsat podle vzorce $P(X|Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}$ :

$P=\frac{P$b=1\wedge[(a=0\wedge b=1)\vee(a=1\wedge b=0)]$}{P$(a=0\wedge b=1)\vee(a=1\wedge b=0)$}$

V čitateli je $b=1\wedge[(a=0\wedge b=1)\vee(a=1\wedge b=0)]$ ekvivalentní s $a=0\wedge b=1$ . Ve jmenovateli máme pravděpodobnost sjednocení vylučujících se jevů $a=0\wedge b=1$ a $a=1\wedge b=0$ , můžeme to rozepsat jako součet pravděpodobností těchto jevů.

$P=\frac{P(a=0\wedge b=1)}{P(a=0\wedge b=1)+P(a=1\wedge b=0)}$

Jak dojedou vozidla značky A zřejmě nijak nezávisí na tom, jak dojedou auta značky B, a naopak. Použijeme tedy vzorec pro průnik dvou nezávislých jevů $P(X\cap Y)=P(X)\cdot P(Y)$ .

$P=\frac{P(a=0)\cdot P(b=1)}{P(a=0)\cdot P(b=1)+P(a=1)\cdot P(b=0)}=\frac{\[$\frac34$^8\]\cdot\[{5\choose1}\cdot$\frac35$^4\cdot\frac25\]}{\[$\frac34$^8\]\cdot\[{5\choose1}\cdot$\frac35$^4\cdot\frac25\]+\[{8\choose1}\cdot$\frac34$^7\cdot\frac14\]\cdot\[$\frac35$^5\]}=\nl =\frac{5\cdot2}{5\cdot2+8\cdot1}=\frac{5}{9}\approx0,56$

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2010 21:06

pravděpodobnost

#2 08. 06. 2010 22:19

Re: pravděpodobnost

#3 27. 09. 2010 14:37 — Editoval BrozekP (27. 09. 2010 15:34)

Re: pravděpodobnost

Zápatí