Matematické Fórum

geronte · 07. 06. 2010 19:02

Zdravim.

Potreboval bych poradit s prikladem na konvergenci Newtonova integralu.

Diky moc.

wigner · 08. 06. 2010 10:48

↑ geronte:
muzes to roztrhnout na integral od 0 do 1 a od 1 do nekonecna, ten prvni je u nuly omezeny, takze je konecny
u integralu od 1 do nekonecna udelej treba substituci y=x^2, cimz se to prevede na integral

$\int_1^\infty\frac{\sin y}{y}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{-3/2}}}$

Ted muzes vyuzit toho, ze integral $\int_1^\infty \frac{\sin y}{y}$ je konecny a pokracovat nejak takhle:

$\left|\int_1^\infty\frac{\sin y}{y}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{-3/2}}}-\int_1^\infty \frac{\sin y}{y}\right|\leq\int_1^\infty\left|\frac{\sin y}{y}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{-3/2}}}-\frac{\sin y}{y}\right|\leq\int_1^\infty\frac{1}{y}\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{-3/2}}}\leq\int_1^\infty\frac{1}{y}\frac{1}{3y^{3/2}+1}\lt\infty$

geronte · 08. 06. 2010 13:23

↑ wigner:

Jeste jednou zdravim.

Doufam, ze neni chyba na moji strane, ale tohle reseni mi pripada uplne spatne.

Zaprve ani pro obecny clen neplati predposleni nerovnost, co vic dokonce pro nej plati opacna nerovnost, nebot

je rozhodne pro dost velke y mensi (a to hodne vyrazne) nez
a tedy pro vyrazy 1/(zmineny jmenovatel) plati nerovnost opacna.

Navic kdyz se omezim na takoveto y, pak vzhledem k tomu, ze obe takto vytvorene funkce jsou na pozadovanem intervalu nezaporne, a pro kazde y z tohoto intervalu plati vyse zminena nerovnost pro obecny clen, nemuze nerovnost platit ani pro plochy pod grafy vami zminenych funkci.

Za druhe prvni vyraz vyse se da shora omezit cislem 2 a pokud se nemylim, integral (1/(2y)) od 1 do nekonecna vubec nekonveguje.

Jeste jednou se predem omlouvam, pokud je spatna moje argumentace. V tom pripade prosim o osvetleni, v opacnem pripade bych potreboval jiny napad.

Dekuji.

kaja(z_hajovny)

Snad by se na to dala pouzit spojita analogie Abelova a Dirichletova kriteria, pokud

* mame tyhle prostredky k dispozici
* vime, ze $\int_1^\infty \frac{\sin y}{y}$ konverguje

EDIT: hm.... tak ted stejne nevidim, jak bych to tam pouzil

geronte · 08. 06. 2010 13:52

↑ kaja(z_hajovny):

Tohle ja ale nezpochybnuju. Jen mi porad nejak unika, jak s timhle faktem docilit dokazani konvergence. Tohle nejde jednoduse omezit, jak jsem to udelal vyse, nebot funkce meni znamenko. Navic to nejde zapsat nejakym zpusobem jako posloupnost castecnych souctu, protoze primitivni funkce neni rozumne analyticky vyjadritelna.

kaja(z_hajovny) · 08. 06. 2010 14:12

Hm, a kdyby se tam pridala k tomu sinu absolutni hodnota, tak to sice pujde odhadnout, ale asi prestane konvergovat. Tak to taky nejde.

Premyslim nad tim ale ted tam nic nevidim. Ale taky jsu oslaben nemoci a silenou bolesti hlavy :)

Asi to nebude priklad z Univerzity ve Starem Hrozenkove, ze? Odkud to je?

and · 08. 06. 2010 14:32

ak použijeme sub. $y=x^2$ dostaneme
$\int_1^\infty\frac{\sin y}{sqrt{y}}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{3/2}}}$
$\sin y$ má ohraničenú primitívnu funckiu na $(0,\infty)$
funkcia $f(x)= \frac{1}{sqrt{y}\sqrt[3]{1+y^{3/2}}}$ je monotónna, spojitá a limita v nekonečnu je 0
preto z Dirichletova kritéria integrál konverguje

geronte · 08. 06. 2010 14:59

↑ kaja(z_hajovny):

To skutecne ne. Je to MFF UK, ale jen cvicny priklad. Duvod, proc jsem ho potreboval vypocitat je ten, ze o neco tezsi s podobnou problematikou byl v minulem terminu zkousky z analyzy, viz. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/d … b_LP_F.pdf
Je to priklad cislo 3. Tak kdyby se nekdo nudil... :) Ale ted uz ho snad vyresim sam.

↑ and:

Jojo. Tenhle Dirichlet vypada dobre. Diky.

wigner · 09. 06. 2010 10:24

↑ geronte:
No, ano, chybicka se vloudila :) - v te predposledni nerovnosti ma byt $\int_1^\infty\left|\frac{\sin y}{y}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{-3/2}}}-\frac{\sin y}{y}\right|\leq\int_1^\infty\frac{1}{y}(1-\frac{1}{\sqrt[3]{1+y^{-3/2}}})\leq\int_1^\infty\frac{1}{y}\frac{3}{y^{3/2}}\lt\infty$

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2010 19:02

Konvergence integrálu

#2 08. 06. 2010 10:48

Re: Konvergence integrálu

#3 08. 06. 2010 13:23

Re: Konvergence integrálu

#4 08. 06. 2010 13:31 — Editoval kaja(z_hajovny) (08. 06. 2010 13:32)

Re: Konvergence integrálu

#5 08. 06. 2010 13:52

Re: Konvergence integrálu

#6 08. 06. 2010 14:12

Re: Konvergence integrálu

#7 08. 06. 2010 14:32

Re: Konvergence integrálu

#8 08. 06. 2010 14:59

Re: Konvergence integrálu

#9 09. 06. 2010 10:24

Re: Konvergence integrálu

Zápatí