Matematické Fórum

Siroga · 08. 06. 2010 14:17

zadani zni : Napiste rovnici rovnoose hyperboly, jejimz asymptotami jsou osy souradnic a ktera prochazi bodem A=[4,1]
nejak si nevim rady ani jak zacit :/
tak jestli muzu poprosit pripadne nejakej podrobnejsi postup reseni ...

Rumburak · 08. 06. 2010 15:06

Rovnoosá hyperbola, jejímiž asymptotami jsou souřadnicové osy, má rovnici xy = K , kde K <> 0 .
Zbývá vypočítat konstantu K dosazením bodu, jímž hyperbola prochází.

Siroga · 08. 06. 2010 15:14

no moc chytrej z toho nejsem :D, jak kam teda mam dosadit ten bod abych spocital to K? :D
a nejakej postup jak se k tomu dojde nebo pripadne nejakou stranku na netu kde to maji nejak vysvetleny bo ja to nejak nemuzu najit a co mi najde google tak neni cesky :/

Rumburak

Jaký význam mají proměnné x, y v rovnici xy = K, když víme, že to má být rovnice křivky?.
Obecná odpověď: Bod X[u, v] leží na křivce o rovnici f(x, y) = 0 právě tehdy, když f(u, v) = 0 .
Toto není žádný špek pro talenty, ale základní princip analytické geometrie.

Stránku na toto téma neznám, o té hyperbole o rovnici xy = K resp. y = K/x si to pamatuji z devítiletky. :-)
V učebnici analytiické geometrie by o tom něco být jistě mělo. :-)

Siroga · 08. 06. 2010 15:31

tak dik moc, skusim neco najit, bo to je maturitni otazka a mam z toho v zari maturovat :d

Chrpa · 08. 06. 2010 15:42

↑ Siroga:
Rovnice hyperboly bude.
$y=\frac{4}{x}$

Siroga · 09. 06. 2010 15:31

muzu prosim poprosit nejakej aspon postup , i strucnej jak se prijde an to $y=\frac{4}{x}$ ?

Rumburak

↑ Siroga:
Předpokládejme, že asymptotami hyperboly jsou souřadnicové osy. To znamená, že její střed (průsečík asymptot) je bod [0, 0]
a hyperbola je rovnoosá (tj. hlavní i vedlejší poloosa mají stejnou délku), neboť asymptoty jsou na sebe kolmé.
Hlavní osa hyperboly bude zároveň buďto

a) osou prvního a třetíko kvadrantu

nebo

b) osou druhého a čtvrtého kvadrantu.

Vezměma případ a) - zbývající prípad by se řešil obdobně.

Ohniska budou ležet na hlavní ose a budou souměrně sdruřená podle středu hyperboly (tuto středovou symetrii vykazuje celá hyberbola obecně).
Nechť $a>0$ je společná hodnota jejích polos a $e$ excentricita. Mezi těmito čísly musí platit vztah

(1) $e^2 = 2a^2$

(neboť pro obecnou hyperbolu je vždy $e^2 = a^2+b^2$ , kde a, b jsou délky poloos). Odtud určíme ohniska E, F: Nechť E = [u, u]
(víme, že leží na hlvní ose, což je přímka o rovnici y = x). Excenticitou je vzdálenost ohniska od středu [0, 0], takže podle vzorce pro
vzdálenost dvou bodů dostáváme rovnici $e^2=u^2 + u^2=2u^2$ , což prostřednictvím (1) dává $u^2=a^2$ . Můžeme tedy zvolit
E = [a, a] , F = [-a, -a] .

Bod X[x,y] bude ležet na uvažované hyperbole právě tehdy, když bude splněna rovnice $\|\,|X-E|\,-\,|X-F|\,\| \,=\, 2a$ ,
tak zní definice hyperboly s ohnisky E,F a hlavní poloosou délky "a" ( |X - E| , |X - F| jsou vzdálenosti bodu X od ohnisek, z těchto čísel
sestavíme rozdíl a na něj provedeme absolutní hodnotu). Poslední rovnici přepíšeme pomocí vzorce pro vzdálenost bodů :
$\| \sqrt{(x-a)^2\,+\,(y-a)^2} \,-\,\sqrt{(x+a)^2\,+\,(y+a)^2} \|\,=\,2a$ ,
umocnníme na druhou:
$(x-a)^2\,+\,(y-a)^2 \,+\,(x+a)^2\,+\,(y+a)^2\, -\,2\cdot\sqrt{(x-a)^2\,+\,(y-a)^2} \,\cdot\,\sqrt{(x+a)^2\,+\,(y+a)^2}\,=\,4a^2$ ,
algebraicky upravíme na
$x^2\,+\,y^2 \,=\,\sqrt{(x-a)^2\,+\,(y-a)^2} \,\cdot\,\sqrt{(x+a)^2\,+\,(y+a)^2}$ ,
to znovu umocníme na druhou a dosti složitou úpravou převedeme na $xy = \frac {a^2}{2}$ .

Siroga · 09. 06. 2010 18:48

tvl sem si myslel ze to bude priklad tak na 2min max, no snad to nevytahnu :D

jinak dik za vysvetleni snad si z toho aspon neco zapamatuju :D

Siroga · 09. 06. 2010 18:55 — Editoval Siroga (09. 06. 2010 18:55)

jen jeste drobnost, jestli to teda chapu dobre , tak kdyby mnela prochazet bodem B=[5,1] tak by byla rovnice $y=\frac{5}{x}$
a kdyby bodem treba C=[6,3] tak $y=\frac{18}{x}$

zdenek1 · 09. 06. 2010 20:58

↑ Siroga:
Ano, ten konec chápeš dobře.
Ono to je jednoduché (2 minuty je moc, tak 30 sekund). Kolega ↑ Rumburak: se ti snažil jen vysvětlit proč to takhle funguje.

Siroga · 09. 06. 2010 21:41

tak jeste jednou dik vsem zucastnenym, snad to nejak dam :d

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2010 14:17

Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#2 08. 06. 2010 15:06

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#3 08. 06. 2010 15:14

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#4 08. 06. 2010 15:29 — Editoval Rumburak (08. 06. 2010 15:29)

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#5 08. 06. 2010 15:31

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#6 08. 06. 2010 15:42

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#7 09. 06. 2010 15:31

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#8 09. 06. 2010 17:07 — Editoval Rumburak (09. 06. 2010 17:08)

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#9 09. 06. 2010 18:48

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#10 09. 06. 2010 18:55 — Editoval Siroga (09. 06. 2010 18:55)

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#11 09. 06. 2010 20:58

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

#12 09. 06. 2010 21:41

Re: Hyperbola, maturitni otazka u kterej fakt netusim jak se resi :/

Zápatí