Matematické Fórum

Lucinecka88 · 11. 06. 2010 08:20

Prosím o pomoc s těmito příklady. Nevím si rady a ani sestra mi nepomohla. Strašně moc děkuji za pomoc.

kacka18

zatím mám 3.):
odstraníš jmenovatele vynásobením rce 6*cotgx
vyjde rce: $12 cotg^2x-17 cotgx+6=0$
substituce: $y=cotgx$

$12y^2-17y+6=0$
kořeny kvadratické rce: $3/2, 4/3$
Vrátíš do substituce a vyšlo mi $x_1=56,31$ a $x_2=53,13$
Snad je to správně, nemám moc čas to kontrolovat :) Postup by měl být správně.

kacka18

4.)
$tgx=sinx/cosx$
$cos2x=cos^2x-sin^2x$

Po úpravě složeného zlomku vyjde:
$(cosx-sinx)/(cosx+sinx)=2(cos^2x-sin^2x)$ ... pravá strana je vzoreček $a^2-b^2$
$(cosx-sinx)/(cosx+sinx)=2(cosx+sinx)(cosx-sinx)$

Závorka $cosx-sinx$ se vykrátí a zbyde:
$1=2(cosx+sinx)^2$
$1=2(cos^2x+2cosx*sinx+sin^2x)$ ... $cos^2x+sin^2x=1$
$1=2(1+2cosx*sinx)$
$1=2+4cosx*sinx$
$-1=4cosx*sinx$
... dál to už zvládneš

gadgetka

2)
Celou rovnici vydělit $\sin^2x$

$6-14\frac{\cos x}{\sin x}+8\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=0\nl6-14\cot x+8\cot^2 x=0\nls:\cot x=a\nl8a^2-14a+6=0\nl4a^2-7a+3=0\nla_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{8}=\frac{7\pm 1}{8}\nla_1=1\nla_2=\frac{3}{4}\nl\cot x=1\nlx=\frac{\rm{\pi}}{4}+\rm{k\pi}\nl\cot x=\frac{3}{4}\nlx=\arctan(\frac{3}{4})+\rm{k\pi}$

Podmínky:
$\sin x\ne 0\Rightarrow x\ne \rm{k\pi}$

kacka18 · 11. 06. 2010 09:22

↑ gadgetka:

jj už to mám také :D

jelena · 11. 06. 2010 09:38

Zdravím vás a děkuji za řešení.

Jen takové drobnosti:

- provádění neekvivalentních úprav (dělení výrazem s promennou) je bez poznámky o podmínce, za které může být tato úprava provedena. V postupu pro 4) řekla bych, že dokonce takovou úpravou bylo jedno řešení ztraceno. Je to tak? Děkuji.

Vlastní snaha ↑ Lucinecky88: (co jsem nakoukla do dalších témat) je bohužel minimální a pochybuji, že se snaží vytvořit systém v jednotlivých postupech. Zřejmě to není účelem.

Ať se vede.

kacka18

↑ jelena:

ano máš pravdu, předpokládám, že podmínky smyslu už zvládne.
spíš jsem se soustředila na postup, každopádně díky :) je to důležité.

gadgetka · 11. 06. 2010 09:54

↑ jelena:

Zdravím ... a jen doplňuji, že Lucinečku jsem již jednou na podmínky upozorňovala, takže jsem to vzala tak, že to už je na ní ... jinak souhlasím s tebou v tom, že Lucinečka má bez nějakého většího přičinění komplet "zvládnutou" látku o goniometrických rovnicích...

jelena · 11. 06. 2010 11:04

↑ gadgetka:

děkuji, ovšem zde není individuální prostor pro výcvik Lucinečky, na toto řešení se může podívat někdo další a bude se divit. Nebo nebude a zafixuje si neúplný postup. Navíc si myslím, že v 4) došlo ke ztratě části kořenu.

Ovšem v tématech SŠ se velmi těžce reaguje - o nějakém prosazování pravidel - body 2, 4 - nelze ani mluvit. Pokud se to nedodržuje ze strany účastníku tématu... ale to je úplně OT ve vztahu k tématu, tedy konec OT, případně se to může řešit v Připominkach

Rumburak

↑ jelena:
Souhlas, v příspěvku ↑ kacka18: ze ztratila ta řešení původní rovnice, která jsou zároveň řešeními rovnice $\,cos\,x\,-\,\sin\,x\,=\, 0$ .

kacka18 napsal(a):
.
.
.
$(cosx-sinx)/(cosx+sinx)=2(cosx+sinx)(cosx-sinx)$

Závorka $cosx-sinx$ se vykrátí a zbyde:
$1=2(cosx+sinx)^2$

gadgetka · 11. 06. 2010 15:35

↑ Rumburak:

jj, nesmí se to krátit, musí se to vytýkat ...

Lucinecka88 · 14. 06. 2010 09:58

Ahoj, omlouvám se, že to vypadá, jako kdybych chtěla spočítat všechny příklady po vás, ale mám zhruba 300 příkladů ke každýmu tématu a dávám sem příklady jen ty, s kterými si opravdu nevím rady. Vím, že nejsem silná matematička, ale snažím se udělat co nejvíc umím. Mockrát všem děkuji za pomoc, kterou jste mi tu zatím poskytli a byla bych strašně moc vděčná, kdybyste mi mohli pomáhat dál.

gadgetka · 14. 06. 2010 14:00

Ještě jednou, aby to Lucinečka lépe pochopila:
2)
$6\sin^2x-7\sin{2x}+8\cos^2x=0$

Pomocné výpočty:
$\sin{2x}=2\sin x\cos x\nl\cos^2x+\sin^2x=1 \Rightarrow \cos^2x=1-\sin^2x$

$6\sin^2x-7\cdot 2\sin x\cos x+8(1-\sin^2x)=0\nl6\sin^2x-14\sin x\cos x+8-8\sin^2x=0\nl-2\sin^2x-14\sin x\cos x+8=0$

Pomocné výpočty:
$cos^2x+\sin^2x=1 \Rightarrow \cos^2x=1-\sin^2x \Rightarrow |\cos x|=\sqrt{1-\sin^2x}$

$-2\sin^2x-14\sin x\sqrt{1-\sin^2x}+8=0|:2\nl-\sin^2x-7\sin x\sqrt{1-\sin^2x}+4=0\nl4-\sin^2x=7\sin x\sqrt{1-\sin^2x}|^2\nl(4-\sin^2x)^2=49\sin^2x(1-\sin^2x)\nl16-8\sin^2x+\sin^4x=49\sin^2x-49\sin^4x\nl50\sin^4x-57\sin^2x+16=0$

$s:\sin^2x=a$

$50a^2-57a+16=0\nla_{1,2}=\frac{57\pm\sqrt{3249-3200}}{100}=\frac{57\pm 7}{100}\nla_1=0,64\nla_2=\frac{1}{2}$

Dosadíme zpět do substituce:
$\sin^2x=\frac{64}{100}\nl\sin x=\pm\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\nl\sin^2x=\frac{1}{2}\nl\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}$

gadgetka · 14. 06. 2010 18:16

3)
$\frac{1}{\cot x}+\frac{1}{6}=3-2\cot x\nl\frac{\sin x}{\cos x}+2\frac{\cos x}{\sin x}=3-\frac{1}{6}\nl\frac{\sin^2x+2\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{17}{6}\nl\frac{1+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{17}{6}\nl6+6\cos^2x=17\sin x\cos x\nl6+6\cos^2x=17\sqrt{1-\cos^2x}\cdot \cos x|^2\nl36+72\cos^2x+36\cos^4x=289\cos^2x(1-\cos^2x)\nl36+72\cos^2x+36\cos^4x=289\cos^2x-289\cos^4x\nl325\cos^4x-217\cos^2x+36=0$

$s:\cos^2x=a$

$325a^2-217a+36=0\nla_{1,2}=\frac{217\pm 17}{650}\nla_1=\frac{234}{650}=\frac{9}{25}\nla_2=\frac{200}{650}=\frac{4}{13}$

Dosadíme za substituci:

$\cos^2x=\frac{9}{25}\nl\cos x=\pm \frac{3}{5}\nl\cos^2x=\frac{4}{13}\nl\cos x=\pm \frac{2\sqrt{13}}{13}$

Podmínky:
$\sin x\ne 0 \wedge \cos x\ne 0 \Rightarrow x\ne \rm{k\pi} \wedge x\ne (2\rm{k}+1)\frac{\rm{\pi}}{2}$

gadgetka · 14. 06. 2010 19:10

4)
$\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=2\cos{2x}\nl\frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=2(\cos^2x-\sin^2x)\nl\frac{\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}=2(\cos^2x-\sin^2x)\nl\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=2(\cos^2x-\sin^2x)\nl\cos x-\sin x=2(\cos^2x-\sin^2x)\cdot (\cos x+\sin x)\nl\cos x-\sin x=2(\cos^3x+\cos^2x \sin x-\sin^2x \cos x-\sin^3x)\nl\cos x-\sin x=2(\cos^2x(\cos x+\sin x)-\sin^2x(\cos x+\sin x))\nl\cos x-\sin x=2(\cos x+\sin x)(\cos^2x-\sin^2x)\nl2(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\cos x+\sin x=0\nl2(\cos x+\sin x)^2(\cos x-\sin x)-(\cos x-\sin x)=0\nl(\cos x-\sin x)(2(\cos x+\sin x)^2-1)=0\nl(\cos x-\sin x)(2\cos^2x+4\sin x\cos x+2\sin^2x-\sin^2x-\cos^2x)=0\nl(\cos x-\sin x)(\cos^2x+4\sin x\cos x+\sin^2x)=0$

1.
$\cos x-\sin x=0\nl\cos x=\sin x|^2\nl\cos^2x=\sin^2x\nl\cos^2x=1-\cos^2x\nl2\cos^2x=1\nl\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\nlx_1=(2k+1)\frac{\rm{\pi}}{4}$
nebo
2.
$\cos^2x+4\sin x\cos x+\sin^2x=0\nl4\sin x\cos x=-1\nl2\cos x\sin x=-\frac{1}{2}\nl\sin{2x}=-\frac{1}{2}\nls:2x=t\nl\sin t=-\frac{1}{2}\nlt_1=\frac{7}{6}\rm{\pi}+2\rm{k\pi}\nlt_2=\frac{11}{6}\rm{\pi}+2\rm{k\pi}$

$x_2=\frac{7}{12}\rm{\pi}+\rm{k\pi}\nlx_3=\frac{11}{12}\rm{\pi}+\rm{k\pi}$

Podmínky: $\sin x\ne 0 \Rightarrow x\ne \rm{k\pi} \wedge \cos x\ne \sin x$

U 1. řešení můžeš i vypsat všechna řešení, pro všechny 4 kvadranty, obojí je správně

Lucinecka88 · 14. 06. 2010 22:38

↑ gadgetka:

Prosím tě, můžu se zeptat jak jsi udělala z 3 řádku 4 řádek u příkladu 3? Děkuji

gadgetka · 14. 06. 2010 22:54

$\sin^2x+\cos^2+\cos^2x=1+\cos^2x$

Lucinecka88 · 14. 06. 2010 23:02

A jo, děkuju.

gadgetka · 14. 06. 2010 23:06

:)

Lucinecka88 · 15. 06. 2010 11:33

Děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2010 08:20

goniometrické rovnice 3. (poslední)

#2 11. 06. 2010 08:53 — Editoval kacka18 (11. 06. 2010 08:59)

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#3 11. 06. 2010 09:08 — Editoval kacka18 (11. 06. 2010 09:10)

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#4 11. 06. 2010 09:18 — Editoval gadgetka (11. 06. 2010 15:58)

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#5 11. 06. 2010 09:22

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#6 11. 06. 2010 09:38

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#7 11. 06. 2010 09:41 — Editoval kacka18 (11. 06. 2010 09:43)

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#8 11. 06. 2010 09:54

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#9 11. 06. 2010 11:04

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#10 11. 06. 2010 11:39 — Editoval Rumburak (11. 06. 2010 11:42)

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

kacka18 napsal(a):

#11 11. 06. 2010 15:35

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#12 14. 06. 2010 09:58

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#13 14. 06. 2010 14:00

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#14 14. 06. 2010 18:16

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#15 14. 06. 2010 19:10

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#16 14. 06. 2010 22:38

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#17 14. 06. 2010 22:54

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#18 14. 06. 2010 23:02

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#19 14. 06. 2010 23:06

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

#20 15. 06. 2010 11:33

Re: goniometrické rovnice 3. (poslední)

Zápatí